数理金融学作业11期权价值的计算单期

期权价值的计算1.某个股票现价为40美元。已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。无风险年利率为12%（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？(2)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.参考答案：1.解：股票的价格二叉树模型为：04240,12%,1/12138ufdqSSrqS第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q.由无套利原理知：0.121/12404238(1)eqq´?+-从40(10.01)4238(1)qq?=+-我们得到2.442384qqq=-=所以0.6q=第2步：对衍生产品价值uC和dC求平均.(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0310udqCCqC看涨期权的价格为：011.8[3(1)0]1.7821.011.01Cqq（美元）=?-?(2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：0011udqCPqC，所以看跌期权的价格为：010.4[0(1)1]0.3961.011.01Pqq（美元）=?-?（3）rPSCKe，0.010.3964040.396,1.7823940.396rPSCKee2.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.2.解：股票的价格二叉树模型为：05350,10%,1/6148ufdqSSrqS第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q.由无套利原理知：0.11/6505348(1)eqq´?+-从50(11/60)5348(1)qq?=+-我们得到17/653485qqq=-=所以3.4/6q=第2步：对衍生产品价值uC和dC求平均.(3)执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0410udqCCqC看涨期权的价格为：0113.6/6136[4(1)0]2.2361/6061/6061Cqq（美元）=?-?=(4)执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：0011udqCPqC，所以看跌期权的价格为：060602.6[0(1)1]0.42661616Pqq（美元）=?-??（3）rPSCKe，0.4265050.426,PS0.11/602.23492.234960/612.2348.19650.426rCKee3.某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？解：构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：42Δ-3=38Δ得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：28.5e-0.08×0.08333=28.31元。这意味着：-(C)+40Δ=28.31(C)=40×0.75-28.31=1.69元。4.假如一份股票看跌期权的相关数据如下：初始价格（S）50美元，协定价格（K）49美元，期权距到期时间（t）为1年，无风险利率（r）为5%。看涨期权（C）4.75美元。请计算该看跌期权的期权费。