数量函数积分的应用

第六节数量函数积分的应用数量函数积分的概念本质上与定积分的概念是一致的，都是通过“分割、近似、求和、取极限”的过程建立起来的。因此同样可以用定积分中的“微元法”来处理数量函数积分中的应用问题。为密度函数，则有几何形体，是一个可以度量的物质设CM)(dMm)(的质量为.1mdMzzmdMyymdMxx)(,)(,)(为形心）坐标为若物质均匀分布，则称的质心(.2dMyxIdMzxIdMzyIzyx)()(,)()(,)()(222222的转动惯量.3例1求由两个圆所围成的均匀薄片的质心。cos,cosbaba0解由于平面薄片是均匀的，求质心即求形心。又薄片关于x轴对称，必有,0ybaabbabaabbadabdabdddddxdyxdxdyxbabaDD248coscos32cos222202220433coscoscoscos2222222oxDydddydxdsyx)()(sin)(cos)(cos)()sin)(()()(sin)(sincos)(cos22222220cos12cos)cos1(daaxdsL。密度的质心求心形线)1()cos1(aLLdsxdsxy.0由对称性：20,cos12)cos1(:dadsaL2例解22053220222532)3254232(16)sin2(sin8)2sin21()2sin2(223aadtttada)0,54(5485328)cos1(222021aaaaxadadsL质心坐标为202cos)cos1(223da.:2222轴的转动惯量对求质量均匀分布的球体zRzyxOxyzdv的转动惯量为轴该微元对于是轴的距离为与点在立体内任取一点也表示其体积同时内取一小立体在球体设密度为zyxzMzyxMdvdv,,),,,(,,,22vdyxIdvyxdIzz)()(2222从而3例解,)(I,)(I,,2222dvzxdvzyyxyx转动惯量轴的轴关于我们同时考虑为了简化计算)(32)(31,,222dvzyxIIIIIIIzyxzzyx于是由对称性504020158sin32RdrrddR.,,),(的引力试求圆锥体对该质点的质点在它的顶点上又设有质量为密度为如图设有一锥体m则的质点的引力为对质量是时表示其体积同是包含此点的体积元素点内任一是圆锥域设,,,,),,(mdvFddvzyxMOxyzRhldv,,,,//)(222故为引力常数zyxOMOMFdkzyxdvmkFd4例解,,)(23222zyxzyxdvkmOMOMFdFdcos0arccos020222cossin)(0,23hlhzyxdrddkmdvzyxzkmFFF由对称性)1(2lhhmk)1(2,0,0lhhmkF轴的距离。一点的密度等于该点到任内的部分，已知曲面上位于曲面为曲面其中的质量曲面求zyxzyxz22222,232222010212222dddxdyyxyxxyzo15例解1,2:2222yxyxzdAyxm22.,,,抽完所作的功试计算将桶中水全部桶中装满水水桶米的圆柱形高为米设有一半径为HR得很小时当的小立体体积为点及包含任取一点建立如图所示的坐标系,,,),,(,dvdvMzyxMOxyzMdv2202021222HRzdzRdxdyzdzdvzWHRyxH6例解作业习题6.6P.119-1201.(2)(3)(5);2(3)(5)(6)(7);3(2)(4)(5);57.总习题P.120-1231.(3)(4)(8);2(2)(3);4;7(2);8(3)9;10;14;16