文献综述预测-校正法在氢原子数值求解中的应用

CQWU/JL/JWB/ZY012-13重庆文理学院本科生文献综述情况表毕业论文（毕业设计）题目预测-校正法在氢原子数值求解中的应用学生姓名刘星学号2002466016系（院）、专业物理与信息工程系物理学年级2002级研究方向计算物理学指导教师肖绪洋参考文献情况国内16篇，国外1篇，共计17篇收集参考文献时间2005年12月10日至2006年3月9日列出收集的参考文献（要求阅读量不少于15篇且至少含1-2篇外文文献）[1]马文淦.计算物理学.北京：科学出版社，2005.05.102～120[2]徐龙道.物理学词典[M].北京：科学出版社.，2004.05[3]合肥工业大学数学与信息科学系.数值计算方法[M].合肥：合肥工业大学出版社.2004.03.3～15[4]王世儒，王金金，冯有前，李彦民.计算方法[M].西安：西安电子科技大学出版社.1996.06.3～11，155～162[5]丁丽娟.数值计算方法[M].北京：北京理工大学出版社.2002.12.204～210[6]梁昆淼.数学物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社.1998.06.229～229，297～308[7]周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社.1979.02.[8]李乃成，邓建中.数值计算方法[M].西安：西安交通大学出版社.2002.11.110～115.[9]韩乔明，何炳生.解单调异变分不等式的预测校正法[J].科学通报.1998.05[10]韩逢河.关于类氢原子径向波函数的几点讨论[J].丹东师专学报.1994.03[11]王际达,张雄文.用预测－校正方法解非线性含扩散的色谱方程[J].鞍山钢铁学院学报.1996.01[12]单峰,毛宇光,宫宁生,邬丽云.基于预报-校正法的汇率预测模型[J].计算机应用.2004.03[13]张文博,张丽静.一类非线性对流占优扩散方程的预测-校正差分流线扩散(PC-FDSD)方法[J].南开大学学报(自然科学版).2004.01[14]赵凯华,罗蔚茵.量子力学.北京：高等教育出版社.2001.01[15]吴连坳，井孝功，丁惠明.径向薛定谔方程的有限差分解法[J].吉林大学自然科学学报.1994.03[16]张中良，张武寿，张兆群.类氢原子薛定谔方程解析解的进一步研究[J].中国科学院研究生院学报.2002.06[17]CooneyPJ,KanterEP,VagerZ.ConvenientNumericalTechniqueforSolvingtheOne-dimensionalSchrödingerEquationforBoundStates.AmJPhys,1981.49:76-77文献综述内容：0.引言物理学和其他学科领域的许多问题往往在被分析研究之后，所形成的数学模型通常都是微分方程或微分方程组的定解问题。一般来说，对于这些常微分或偏微分方程的求解问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。众所周知，几乎所有的量子体系的薛定锷方程均不能严格求解。因此，处理量子体系的近似方法一直是物理学家关注的热点，尤其对于单原子体系问题，物理学工作者建立起了许多精美的近似方法。但这些近似方法，都强烈地依赖于完备基矢的选择。在一个好的表象中，某一哈密顿的矩阵元可能很容易计算，但是对于大多数实际问题，求算哈密顿量的矩阵元是非常困难的。而对于由实验上测定，或由计算机数值给出的势能函数，上述方法是不能应用的。为了解决这样的一些常微分或偏微分方程的求解问题，我们选择用数值近似的方法加以解决。1.有限差分法有限差分法是随着计算机的诞生和发展而发展起来的，并发展成为一门相对比较成熟的数值研究方法。1.1有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想是：通过网络分割法将求解区域上的连续函数离散成网络点上的分离值，用各离散点上的差分代替该点的微分，从而将微分方程变成一组相应的差分方程，然后采用适当的计算方法，算出各离散点上待求函数的近似值。在进行网络分割时，常采用的是规则的分割方式，这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。比如对一维问题，网络分割就是将求解区间离散为若干个等距离的结点；对二维或三维问题，就是用规则的网络线的交点即为结点。当求解区域不规则时，有些边缘结点就可能位于求解区域外。若某个内部结点P的所有相邻结点都在求解区域之内，则P点称为正则内点；反之，若结点P有在求解区域之外的相邻结点，则P点称为非正则内点。1.2欧拉近似法欧拉（Euler）近似法也称为欧拉折线法，是常微分方程和方程组的数值求解方法中最简单的一种方法。考虑一个一般的常微分方程的初值问题：00)(),(yxyyxfdxdy（1.2.1）在x的定义域ba,上以等步长iixxh1将区间分成一系列子区间，结点记为)()(1210bxxxxaxmm以向前的一阶差分代替（1）式中的微分得),()()(iiiiyxfhxyhxy若以iy表示在结点ix上)(ixy的近似值，并代入上式，则得),(1iiiiyxhfyy（1.2.2）图1欧拉折线法此即欧拉近似法的递推公式。由0y出发，运用上式反复递推，就可以求得,,,21iyyy.从泰勒展开很容易看出，欧拉法的误差级别是)(2hO，也就是说它只具有一阶精度。从几何意义上看，欧拉法的实质就是在子区间内用折线代替函数曲线，所以也把这一方法称之为欧拉折线法。随着x的增加，由于累积效应，误差也越来越大，因此该方法的精度不高，不过由于该方法比较简单，在求解区间不太大，精度要求不太高时仍可使用。1.3预测－校正法精度差是欧拉法的一大缺点，为了改善其精度，我们可以考虑把向前和向后差分结合起来，建立新的差分格式。若用向后差分代替（1）式中的微分，则可得),(111iiiiyxhfyy（1.2.3）将（2）和（3）式加起来取平均值得),(),(2111iiiiiiyxfyxfhyy（1.2.4）这就是改进的欧拉法的计算公式，它相当于将子区间上函数曲线段的斜率取为平均斜率，所以比前面的方法更合理。可以证明，该公式的误差量级为)(3hO，即精度为二阶。我们注意到，公式（2）和（4）有一个很大的差别。用公式（2）计算时，知道了1y就可直接得到1iy，我们称这类公式是显式的；而公式（4）右端的),(11iiyxf中含有未知的1iy，不可能直接求得1iy，这类公式称为是隐式的。原则上讲，隐式格式可以通过迭代法求解，但迭代计算的工作量一般较大，为了减少计算量，通常采用预测－校正法，也就是将公式（2）的计算值作为预测值，然后利用公式（4）作一次迭代校正：),(),(2),(11101iiiiiiiiiiyxfyxfhyyyxhfyy（1.2.5）由此得到的结果，其精度也是二阶的。这虽然比欧拉法多了一倍的计算量，但却使计算精度提高了一阶，同时又避免了大量的迭代计算。2误差分析本文设计到数值求解，难免会带来误差，因此对误差进行分析是有必要的。2.1误差的来源2.1.1模型误差一般来说，生产和科学研究中遇到的实际问题是比较复杂的，要用数学模型来描述，需要进行必要的简化、忽略一些次要的因素，这样数学模型与实际问题之间必然存在误差．这就是所谓的模型误差．2.1.2数据误差数学模型中通常包含一些出观测(实验)得到的数据．例如用221)(gtts来描述初始速度为0时自由落体下落时距离和时间关系中，重力加速度g≈9.8米／秒2是由实验得到的，它和实际重力加速度大小是有出入的．这种由实验或计算得到的数据与实际数据之差，称为数据误差．2.1.3截断误差在解决实际问题时，数学模型往往比较复杂，不易求出它的解析解，这就需要建立一套行之有效的数值方法，这种数学模型的精确解与数值方法得到的近似解之间的误差称为方法误差或截断误整。例如，计算积分dxxfba)(，而)(xf的原函数不能用初等函数表示，为了计算积分，最简单的方法就是将)(xf进行Taylor展开nnxnfxffxf!)0()0()0()()(，用它的有限项的和nnnxnfxffxp!)0()0()0()()(近似替代)(xf，便可求出积分的近似值，这时的截断误差是之间与位于xxfnxRnnn0,)!1(1)(11.4．舍入误差由于计算机只能对有限位数进行有限次运算，所以参加运算的数只能是有限位的，如果计算公式中含有、2、3等，在实际计算时只能取有限位致，而对有限位后的数进行四台五人处理．这种由四舍五人产生的误差称为舍入误差．2.2避免误差危害的若干原则2.2.1要避免两个相进的数相减两个相近的数相减，则这两个数的前几位相同的有效数字会在它们之差中消失，从而减少有效数字。所以遇到这种情形，应当多保留这两个的有效数字，或者对公式进行处理，避免减法，特别要避免再用这个差作除数。例如，要求aax1之值，当1000a时，若取4位有效数字计算，64.311a，62.31a，两者相减得02.0z，这个结果只有一位有效数字。但若将公式改变为aaaaz111则求得01581.0z，它有4位有效数字。可见改变计算公式可以避免两个相近数相减而引起的有效数字损失，从而得到比较精确的结果。2.2.2选用数值稳定的计算公式一个算法是否稳定，是十分重要的。如果算法不稳定，那么数值计算的结果就会严重背离数学模型的真实结果。下面我们通过一个例子加以说明。计算定积分101dxexeIxnn，2,1,0n（2.2.1）利用分部积分法不难求得nI的递推关系式10110.63211nnIeInI（2.2.2）由（2.2.2）式可依次算得如下结果：6321.00I，3680.01I，2640.02I，2080.03I，1680.04I，1600.05I，0400.06I，7200.07I，7280.08I因为11)(max010101ndxxeeInxxn（2.2.3）由上面nI的不等式可看出1250.0817I因此按递推关系式（2.2.3）所算出的7I、8I的结果是错误的。错误产生的原因是因为0I本身有不超过410)21(的误差，它又与1I的误差一起顺序乘以2，3，4，5，6，7，8而传播积累到7I，8I中去，从而使得7I，8I的结果面目全非。如果将（2.2.3）式改写为)1(11nnInI（2.2.4）又因为1)min(110101nedxxeeInxxn结合（2.2.4）式得1111nInen（2.2.5）当7n时，由上面的估计式取1124.07I，开始按（2.2.4）式计算，有如下结果：1124.07I,1269.06I,1455.05I,1708.04I,2073.03I,2643.02I,3680.01I,6320.00I由此可看出，按递推关系式（2.2.5）算出的6320.0nI与按6321.0110eI结果相差无几。此例告诉我们，尽管公式（2.2.3）和（2.2.5）都是正确的，但是利用公式（2.2.3）去计算时，由于误差是积累的，因此当n大到一定程度后，所求得的nI将严重脱离真值，这时我们称算法（2.2.3）式是不稳定的。而（2.2.5）的计算误差则相互抵消，误差不会增加，因此算法（2.2.5）式是稳定的，所以在选用和设计算法时必须考虑算法的稳定性。2.2.3简化计算步骤，减少运算次数我们以多项式的求值为例，说明减少运算次数的重要性。计算多项式nkkknxaxP0)(的值，若直接逐项求和运算，计算kkxa这一项要做k次乘法，而)(xPn共有1n项，所以需做)1(2121nnn次乘法和n次加法。但若按著名的秦九韶算法：01nkknkuauuxa（2.2.6）对nk,,2,1反复执