循环矩阵的探讨

四川师范大学本科毕业论文循环矩阵的探讨学生姓名王云肖院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2011级3班学号2011060344指导教师柏明强完成时间2015年5月5日I循环矩阵的探讨数学与应用数学专业学生姓名：王云肖指导教师：柏明强摘要:本文主要介绍了一类特殊的矩阵--循环矩阵.介绍了循环矩阵的概念,代数运算性质,特征值和特征向量的概念以及求法,对角化问题.关键词:循环矩阵;特征值;特征向量;对角化.ThediscussionofcyclicmatrixSpecialization:MathematicsandAppliedMathematicsUndergraduate:WangYunxiaoSupervisor:BaiMingqiangAbstract：Thisarticlemainlyintroducesaspecialkindofmatrix-cyclicmatrix.Itintroducestheconcept,thealgebraicoperationproperties,theconceptofeigenvalueandeigenvectorandthecalculationmethod,theproblemofdiagonalizationofcyclicmatrix.Keywords:cyclicmatrix,eigenvalue,eigenvector,diagonalizable.目录摘要:.....................................................................................................I1.循环矩阵的产生背景.......................................................................12.循环矩阵的代数性质.......................................................................12.1循环矩阵的概念................................................................................................................12.2循环矩阵的运算性质........................................................................................................23.循环矩阵的特征值与特征向量.......................................................53.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质................................................................53.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法........................................................................63.2.1基本计算法...........................................................................................................63.2.2特殊法...................................................................................................................64.循环矩阵对角化..............................................................................74.1循环矩阵可角化的概念以及性质....................................................................................74.2对角化的应用....................................................................................................................85.结束语.............................................................................................9参考文献：.........................................................................................911.循环矩阵的产生背景10循环矩阵的概念是TMuir在1885年最先提出的,一直到1950到1955年,Good等才对其逆,行列式和特征值进行研究.循环矩阵是一种很重要的矩阵,在很多领域中都有广泛的应用.如在数理统计,编码理论,理论物理,固态物理,数学图象处理,分子轨道理论等方面应用很广.循环矩阵逆特征值问题,在力学振动系统设计,分子结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域中也是有很广泛的应用的.因为循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一种特殊矩阵,具有很好的性质和结构,所以对于循环矩阵的研究非常活跃.和一般矩阵相比,循环矩阵具有和其相似的性质,比如秩,特征值,特征向量等都是一般矩阵性质的重要部分.对于循环矩阵的研究愈加深入同时也加深了对一般矩阵的认识,同时对于一般矩阵的性质探索也有一定帮助.从1950年提出了循环矩阵的概念以来,尤其是近年来,循环矩阵类已然成为了矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向,许多数学工作者对它进行了大量探索,并且得出很多成果.各种新的循环矩阵概念被提出,已有十几种.如向后循环矩阵,循环布尔矩阵,r-循环矩阵,g-循环矩阵,块循环矩阵等.迄今为止,有关循环矩阵的理论知识还不是很完善,但是在实际生活中循环矩阵的应用还是很广泛的,因此数学工作者对循环矩阵的探索仍在进行着.其中对于它的逆矩阵求法是许多国家数的学工作者研究的一个重要方向.但是对于循环矩阵的代数性质,特征值,特征向量以及对角化问题研究的还不是很多,而对于这类特殊的矩阵——循环矩阵来说这是基本的.2.循环矩阵的代数性质2.1循环矩阵的概念定义1]1[具有如下形式的n阶方阵的C称为一个n阶循环矩阵,又称轮换矩阵,C=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,显然,C由其首行元素唯一确定,简记为C=circ(a0,a1,…,an1).特别地,n阶循环矩阵K=circ(0,1,0,…,0)=1010nTI,称为单位循环矩阵或循环置2换矩阵或移位矩阵.性质1C=a0K0+a1K+a22K+…+an11nK.性质2[1]设f(x)=a0+a1x+…+an1xn1,则C=f(K).2.2循环矩阵的运算性质性质3设A,B是两个n阶循环矩阵,则A+B是循环矩阵.证明设循环矩阵A,B为A=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,B=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb,则A+B=00112222111100113322221100443322334400111122331100nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababababababababababababababababababababababab=circ(a0+b0,a1+b1,…,an1+bn1),根据定义,则A+B也为循环矩阵.性质4设A,B是两个n阶循环矩阵,则AB是循环矩阵,且AB=BA.证明设1100(),(),nnijijijAfKaKBgKbK则1122000()(),nnnijsijsijsABaKbKcK其中sijijscab.因为nttKK，其中t为非负整数,所以22100(),nnsisinisiABcKccK其中c2n1=0.所以AB=circ(c0+cn,c1+cn+1,…,cn2+c2n2,cn1)是循环矩阵.又因为f(x)g(x)=g(x)f(x),则AB=()()()()fKgKgKfKBA.性质5设A是一个n阶循环矩阵,a是数域P中的一个数,则aA是循环矩阵.3证明设循环矩阵A=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,则B=aA=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=circ(aa0,aa1,…,aan1),故aA为循环矩阵,得证.性质6设A是一个n阶循环矩阵,则A的转置矩阵AT是循环矩阵.证明设有一个循环矩阵A=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,则循环矩阵A的转置为AT=0122110132210432340112310nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=circ(a0,an1,…,a1),从而结论成立.性质7设A是一个n级可逆循环矩阵,则A的逆矩阵A1是循环矩阵.证明：根据性质4，两个循环矩阵A,B的乘积是循环矩阵,因而只要找到循环矩阵B,使得AB=En,问题即可解决.设1100,,nnijijijAaKBbK(0b,1b,2b,…,1nb为待定常数),则011222110circ,()(,,),ninniniinnncccccccABccK,4其中sijijscab,s=0,1,…,2n1.要使得AB=E,其必要条件是使得下列方程组成立：001122111001122110213201...1...0............0nnnnnnnnnabababababababababababab,方程组可以改写为01221010132121043223401212310110000nnnnnnnnnnnnaaaaabaaaaabaaaaabaaaaabaaaaab,显然，上述方程组的系数矩阵为循环矩阵A的转置矩阵,是可逆的,因而根据C