微分几何教案第七讲

1具体如下：取M上的向量场X，对给定的,Mx有MTxXx)(，于是MTxx*)(为关于X的齐次线性函数，有.,)()())((MxxXxxX对)(,MCgf和),(,MXYX有).()()(YgXfgYfX下面设MTp*1,,（即1-形式），PXX,,1为M上的向量场。)),(det()()()1()()()1(),,)((111)(1)()(1)(11jiipiiiSippiSdppXXXXXXXppp其中)(p是p,,2,1的置换群，即)(),(},,{,1SpiiSpp是的逆序数。一般地，设).,,(),,(11111111piiiiiipiiiiiiXXaXXapppppp2并且，设和分别为M上的p形式和q形式，则).,,(),,()1(),,)((11)()(1qpppiiqpiiSqpXXXXXX设UU,是M上x处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为ix和jx。设M上的p形式)(x在这两个局部坐标系中分别表示为.)()()(111111ppppppjjjjjjiiiiiidxdxxbdxdxxax则有坐标变换公式：).(),,(),,()(11111xaxxxxxbpppppiiiijjiijj三、外微分对流形M上的0-形式f（即函数)(MCf），由函数的微分，有niiidxxfxdf1,)(3df为M上的1-形式，上式表明，d是)(0MF到)(1MF的映射。下面将d推广为)(MFp到)(1MFp的映射。定义：设U为流形M上含x的坐标邻域，局部坐标为ix。如果M上的p形式在U中写成,)()(111pppiiiiiidxdxxax则定义外微分如下：.)()(1111111ppppppiiiinjjjiiiiiiiiddxdxdxxxadxdxxdaddMFMFdpp)()(:1性质：①对RMFp21,),(,有.)(2121ddd②对),(),(MFMFqp有.)1()(dddp4③,0dd即),(MFr都有.0)(dd③当np时，对),(MFp必有.0d例考虑3R，取它的直角坐标系),,,(zyx则3R上所有微分形式为0形式：).(),,,(30RCfzyxf1形式：).(,,,31RCcbacdzbdyadx2形式：).(,,,32RCcbadycdxdxbdzdzady3形式：).(,33RCadzdyadx分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题定义：设M是n维微分流形，)(MFp。如果,0d则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在)(1MFp使得,d则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有5定理（ePoincar引理）设是M上的p形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（ePoincar引理的逆命题）设开集MU可收缩为一点，是U上的p形式，若是闭的，则是恰当的。对偶映射定义：设NM,分别为m维和n维微分流形，NMF:是C映射。定义映射)()0(),()(:**FnpMFNFFPP使得对任何MTXXMxxp,,,1有PPXxFXxFxFXXxF)(,,)())((,,)))(((*1*1*其中*F即dF，是F的微分。*F称为映射*F的对偶映射。性质：⑴*F是线性的，即对)(,21NFP，有).()()(2*21*12211*FFF⑵对),(,NFp有).()()(***FFF6⑶dFFd**，即对)(NFp有).()(**dFFd⑷若PNGNMF:,:是C的，则.)(***GFFG局部地，设),(U和),(V分别为M和N上包含x和)(xFy的坐标图，,)(VUF局部坐标分别为ix和jy。如果设,)()(111pppiiiiiidydyyay则.),,(),,())(())((111111*ppppppjjjjiijjiiiidxdxxxyyxFaxF§5.8流形上的积分一、体积元与可定向流形设nxx,,1是nR的一个直角坐标系**1,,nee为ix方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取nR的一个n形式：,1ndxdx7显然.1))(det(),,(***1jinedxee它给出以**1,,nee为边构成的n维正立方体。一般地，若nee,,1是nR的任一个有序基，则njjijieae1*.于是).det())(det(),,)((),,(111ijjinnnaedxeedxdxee可将之视为以),,(1nee为边的平行多面体的“有向体积”。若)0(0)det(ija则称基底nee,,1与标准基**1,,nee的“定向相同（相反）”。ndxdx1称为nR的标准体积元。如2R上，取).1,0(),0,1(21ee（如图示）.01)det(,0110],[]','[.','21211221ijaeeeeeeee一般地，在n维实向量空间V上任取两组基nee,,1及',,'1nee，它们的关系为.,,1,'njeaeiijj8或].[,,',,'11ijnnaeeee定义等价关系：nee,,1~',,'1nee.0)det(ija这样就可将V的所有有序基分为两个类，称之为V的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如3R中，{kji,,}代表的右手系习惯称为正定向，而{jki,,}代表的左手系为反定向。又如nR中n,1确定它的一个标准定向流形的定向。定义：设M是n维微分流形，),(U是M的一个图集。若该图集能确定Mx的切空间MTx的定向，则称M是可定向的。M可定向UUx处雅可比行列式.0),,(),,(det11xnnxijxxxxxx并非所有的流形都可定向，如Mobius带。定义：设是M上的一个n-形式，若对Mx，都有0)(x，则称为流形M的一个体形式（体积元）。9可以证明：M可定向M上有一个体积元。设x点处局部坐标系nxx,,1，则MTx有自然基nxx,,1，若对Mx都有,0,,)(1nxxx则确定了流形M的正向，否则反向。定义：设M，N是两个已定向的n维微分流形，其定向分别由)(MFn和)(NFn确定，NM:为C映射。若微分形式*与的定向相同，则称是保定向的；否则称是反定向的。命题：设映射),(,:xyxNM流形M和N分别由n-形式ndxdx1和ndydy1所定向，则保定向.0),,(),,(11nnxxyy流形上的积分首先考虑nR中开集U，ix为nR的整体坐标系。取切空间的基nxx,,1确定U的正方10向，于是nR成为一定向流形。设f为U上一个可积函数，.)(1ndxdxxf.),,()(111nUndnUUdxdxxxfdxdxxf下面考虑n维可定向的微分流形M。设),(U是M上的一个图册，局部坐标为nxx,,1，下面用切空间上的自然基nxx,,1确定M的定向。取M的开覆盖U的一个单位分解f，即存在M上的C函数族f，满足①对任何及Mx，有,1)(0xf且当Ux时，0)(xf；②对Mx，仅有有限个0)(xf。③对Mx，1)(xf。设是M上的一个n形式，且其支集0)(|xMxSuppd，是一个紧子集。如果对某个有,USupp则有U上可表示为.)(1ndxdxxa11定义：.),,()()(111nUndnUUdxdxxxadxdxxa一般地，由于Supp是紧致的，可选有限个邻域mUU,,1覆盖Supp，即有.1jmjUSupp由单位分解f可知mjjf1，且.,,1,)(njUfSuppji于是，定义：n形式在已定向流形M上的积分为.)()(11)(11nmjmjUjUjmjMjdMdxdxxaxfffjjj可以证明，有如下性质：设21,,是已定向的n维流形M上的有紧支集的n形式，则①;)(2121MMM②;,RMM③;MM④若为M上的体积元，它确定M的正向，0)(xg为M上的连续实函数，则120Mg当且仅当0g上式取等号。⑤若21,MM为M的不相交开集，,21MMM且21,MM的定向与M一致，则.21MMM变量置换公式：设NM,是已定向的n维微分流形，NM:是一个保定向的微分同胚，为N上的n形式，则MN*特别地，当,)(,)(:yxxRUUn（U为nR的一开子集）是一微分同胚时，则对)(U上的可积函数)(yf有.||))(()(1)(1nUnUdxdxJxfdydyyf如当1n时，]','[],[:baba是一C同胚，,)(dxxf则有],[*]','[baba，即,)(')]([)(''babadtttfdxxf即经典的变量变换公式。