微分方程在几类实际问题中的应用

毕业设计（论文）题目名称：微分方程在几类实际问题中的应用院系名称：理学院班级：数学102学号：201000134223学生姓名：陈博先指导教师：宋长明2014年6月论文编号：201000134223微分方程在几类实际问题中的应用ApplicationofDifferentialEquationinSeveralPracticalProblems院系名称：理学院班级：数学102学号：201000134223学生姓名：陈博先指导教师：宋长明2014年6月I摘要在数学上,物质运动和其变化规律是用函数关系进行描述的,但是实际问题中常常不能直接写出反应相应规律的函数,却比较容易建立起这些变量与它们的导数之间的关系式,即微分方程.只有一个自变量的微分方程即为常微分方程,简称为微分方程.本文讨论的是微分方程在实际问题中的应用.微分方程在各个学科领域都可以发挥出其数学优势,将微分方程理论和实际问题结合起来,便可建立实际问题的模型.本文在介绍微分方程应用背景的基础上,结合微分方程的概念性质,利用归纳总结的方法探讨了常微分方程在物理问题、生物问题、军事问题、经济问题和医学问题等“现实生活”中问题的应用,同时结合相应实例进行分析.从这些应用问题中,我们可以看出：微分方程,它确实是数学联系实际的一个活跃分支.关键词：微分方程；实际问题；应用；数学模型IIAbstractInmathematics,themotionofmatteranditschangerulearedescribedbytherelationshipoffunction.Butforpracticalproblems,comparedwithwritingthereactionofthecorrespondingrulesdirectly,establishingtherelationshipbetweenthesevariablesandtheirderivativesnameddifferentialequationbecomesrelativelyeasy.Onlyavariableofdifferentialequationiscalledordinarydifferentialequation,forshortdifferentialequation.Inthispaper,wediscusstheapplicationaboutdifferentialequationsintheactualproblems.Differentialequationcanperformitsmathematicaladvantageinvariousdisciplines.Combiningdifferentialequationtheoryandpracticalproblems,wecanestablishthemodeloftheactualproblems.Basedontheapplicationbackgroundofdifferentialequationandcombinedwiththeconceptandnatureofdifferentialequation,thispaperdiscussedtheapplicationofordinarydifferentialequationinthefieldofphysics,biology,military,economicandmedicine,andsoon,withthemethodofsummarizing.Fromtheseapplications,wecanseethatdifferentialequationisreallyaactivebranchofconnettingmathandpracticalproblems.Keywords:differentialequations；theactualproblem；application；mathematicalmodelIII目录1引言............................................................12微分方程简介.....................................................22.1微分方程的概念.................................................22.1.1微分方程..................................................22.1.2微分方程的阶..............................................22.2高阶微分方程解法................................................22.2.1可降价高阶微分方程的解法..................................32.2.2线性微分方程解的结构......................................32.2.3二阶常系数齐次线性方程解法................................42.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法..........................42.3微分方程建立模型的主要方法......................................52.3.1定理规律法................................................52.3.2模拟近似法................................................52.3.3微元分析法................................................52.4微分方程解决问题的基本步骤......................................52.4.1基本步骤..................................................52.4.2案例分析..................................................53微分方程在实际问题中的应用.......................................73.1微分方程在物理问题中的应用.....................................73.2微分方程在生物问题中的应用.....................................93.3微分方程在军事问题中的应用....................................103.4微分方程在经济问题中的应用.....................................123.4.1新产品推广模型...........................................123.4.2价格调整模型.............................................133.5微分方程在医学问题中的应用....................................153.5.1模型Ⅰ...................................................153.5.2模型Ⅱ...................................................163.5.3模型Ⅲ...................................................173.5.4模型Ⅳ...................................................19结论............................................................21参考文献..........................................................22致谢............................................................23中原工学院理学院毕业论文11引言客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映,便有变数（或变量）概念.事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的,反映在数学上,就是变量之间的关系,从而又形成了函数的概念.由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数（或微分）间的关系式,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知变量直接的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.因而,研究微分方程具有很重要的应用价值和实际意义.本文研究的主要是常微分方程在实际问题中的应用,在生物、物理、化学等学科中都有微分方程的应用.微分方程是数学理论联系实际的重要渠道,它是研究许多自然科学、工程技术以及生物医学技术等实际问题的有力工具.本论文内容由两部分组成：第一部分,通过查阅教材和相关资料收集总结微分方程的定义性质,通过阅读前人文献以及向老师同学请教总结利用微分方程建立模型解决实际问题的方法和基本步骤；第二部分,这一部分总共选择了五个学科领域,通过举例建立模型分析了微分方程分别在物理、生物、军事、经济和医学方面的应用,这一部分选择了与我们生活更加相关联的经济问题和医学问题作为重点,分别从不同方面建立相关的微分方程模型并求解分析其实际意义,这一部分介绍了微分方程解决实际问题的能力及其便利性.中原工学院理学院毕业论文22微分方程简介在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下,微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用,刺激和推动了一系列应用分支的形成,微分方程理论正是在这一时代背景下应时而兴的.本章简单的介绍了微分方程的相关概念以及微分方程解决问题的步骤和方法.2.1微分方程的概念2.1.1微分方程许多客观的变化过程包含一定的函数关系,但是这个函数关系一般无法获得.然而,可以根据实际背景和各种有用信息建立起一个包涵未知函数的导数方程.一般的,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,例如下面的方程:20,sinyyyayxx在许多问题中,不能够直接求出所需要的函数关系.但是能够根据实际问题的背景与各种客观规律建立起关于未知函数的一个微分方程.研究微分方程就可以求出这个函数,从而获得相关问题的各方面的有用信息.2.1.2微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶.例如,方程2dyxdx的阶数为1；方程220.4dsdt的阶数为2.阶数为一的微分方程为一阶微分方程,阶数为二及其以上的微分方程为高阶微分方程,本文主要讨论二阶微分方程.例如'2yxyx的微分方程称为一阶微分方程；3223xyxyx为三阶微分方程.2.2高阶微分方程解法对于高阶微分方程的求解,一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方中原工学院理学院毕业论文3程比求解高阶方程方便些.因为本论文主要用到二阶常微分方程,故本节主要介绍常见的二阶常微分方程的相应的解法.2.2.1可降价高阶微分方程的解法①nyfx型解法：接连积分n次,即得通解.②,yfxy型特点：不显含未知函数y解法：令,yPxyP,代入原方程,得,PfxPx.③,yfyy型特点：不显含自变量x.解法：令