微分方程的稳定性模型

在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。下面，我们将研究几个与稳定性有关的问题。稳定性模型的特点•对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。•不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。目录6.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛6.3种群的相互竞争6.4种群的相互依存6.5种群的弱肉强食6.1捕鱼业的持续收获•再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。背景•资源分为再生资源（林业、渔业等）和非再生资源（矿业等）。考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。希望建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？问题及分析•在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。•如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。实际问题ExNxrxxFtx)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记产量模型假设•无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律•单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足•不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。一阶常微分方程的平衡点及其稳定性)1()(xFdtdxx一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点(或奇点)。它也是方程(1)的解.设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0xtxt称x0是方程(1)的稳定平衡点),(txFdtdxx一阶微分非线性方程不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法由于),)(()(00xxxFxF讨论方程(1)的稳定性时，可用)2())((00xxxFdtdx来代替.即)2())((00xxxFx(1)的近似线性方程易知x0也是方程(2)的平衡点.(2)的通解为,e)(0)(0xCtxtxF关于x0是否稳定有以下结论：))1(),2((0)(00对稳定xxF))1(),2((0)(00对不稳定xxF0)(xF0),1(10xrENxErxFrExF)(,)(10产量模型ExNxrxxFtx)1()()(平衡点稳定性判断0)(,0)(10xFxFrE0)(,0)(10xFxFrEx0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx平衡点分别对应微分方程的两个特殊解。产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标x0~平衡点2//*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量)4/,2/(*0*rNhNxPm产量最大f与h交点P稳定0xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半cErEpNEESETER)1()()()()1(4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型假设•鱼销售价格p•单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.)/1(0rENx稳定平衡点求E使R(E)最大)1(2pNcrERpcN22)1(rENxRR渔场鱼量2*rE收入T=ph(x)=pEx支出S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞过度•封闭式捕捞追求利润R(E)最大•开放式捕捞只求利润R(E)0cErEpNEESETER)1()()()(R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER)1(rENxsspc临界强度下的渔场鱼量cp或,捕捞过度ER)1(2pNcrERE*令=0)1(pNcrEsssxE,6.2军备竞赛•描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程•解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的gkyxtx)(建模军备竞赛的结局常微分方程组的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量hylxty)(,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。t时的x(t)，y(t)线性常系数微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程00dycxbyax的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0xtxt称P0是微分方程的稳定平衡点,)(lim0ytyt记系数矩阵dcbaA特征方程0)det(IAAqdapqpdet)(02特征根2/)4(22,1qpp线性常系数微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性特征根2/)4(22,1qpp平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式ttecec2121平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p0且q0p0或q0klAqpdet0)(klhglyklgkhx00,平衡点稳定性判断lkA系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件0,0qpklhylxtygkyxtx)()(模型军备竞赛模型的定性解释kl双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件1)双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。平衡点klhglyklgkhx00,2)若g=h=0,则x0=y0=0,在kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。hylxtygkyxtx)()(模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备。0,0yx4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，gkyx即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。0k0g模型的定性解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。hylxtygkyxtx)()(模型6.3种群的相互竞争•一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。•当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。•建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。221122221)(NxNxxrtx)1()(11111Nxxrtx111111)(Nxxrtx模型假设•有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;)1()(22222Nxxrtx•两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。11对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型221Nx模型分析221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx的趋向时)(),(21txtxt(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程),()(),()(212211xxgtxxxftx的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程0),(0),(2121xxgxxf的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim011xtxt称P0是微分方程的稳定平衡点,)(lim022xtxt模型判断P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程)1(),()(),()(212211xxgtxxxftx)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx02121PxxxxggffAAqgfpqpPxxdet)(00212平衡点P0稳定(对2,1)p0且q0平衡点P0不稳定(对2,1)p0或q0),,0(),0,(2211NPNP平衡点：01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx仅当1,21或1,21时，P3才有意义模型)0,0(,1)1(,1)1(4212221113PNNP2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx平衡点稳定性分析4,3,2,1,det,)(21iAqgfpipipxx2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf平衡点Pi稳定条件：p0且q0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点)0,(11Np)1(221rrpq)1(221rr),0(22Np211)1(rr)1(121rr2122211131)1(,1)1(NNp2121211)1)(1(rr)0,0(4p)(21rr21rr2122111)1()1(rr21,11,P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点11,21P1稳定的条件11?1121稳定条件221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx12/N21/N1N2N1P1x2x000S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx0