微积分在微观经济学中的应用

1引言微积分广泛地应用在自然科学、社会科学及应用科学等各个领域，用来解决那些仅靠代数学不能有效解决的问题．经济学作为社会科学“皇冠上的明珠”，其与微积分的联系也尤为紧密，我们就拿微观经济学为例．微观经济学是研究社会资源配置以及社会微观个体的经济关系的一门科学，从它诞生之日便和数学结下了不解之缘．自威廉-斯坦利和卡尔-门格尔等人的“边际革命”将边际分析引入经济学分析起，微积分在经济学研究中的作用越来越重要，它为解决以“变量”为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，是运用定量分析方法研究经济理论的有效工具．微积分以其特有的严密性为微观经济学理论提供了科学的论证和精确的数理分析，严格的量化的论证与分析提高了经济学理论的科学性．微观经济学这一百多来的发展实践证明：将现代的数学方法例如微积分引入到微观经济学领域，大大地推动了经济学的研究和发展．本文主要结合微观经济学中的典型的经济模型和经济问题，探讨微积分在微观经济学研究中的具体运用，以提高用高等数学中的方法来处理复杂经济现象的能力．下面研究主要集中在诸如边际分析、弹性分析、成本问题、收入问题、消费者剩余和生产者剩余这些方面，从而让我们对微积分这个分析工具在经济学中的运用有个更加清晰全面的认识．2经济学中常用函数[1]在引入微积分在微观经济学中的运用之前，先来简要介绍下经济学中的几个常用的函数．需要注意的是，由于在现实中许多经济函数并不是连续函数，为了能够进行微积分运算，我们不妨先假设它们是连续且可微函数．2.1需求函数需求函数是反映在每一可能的价格水平下消费者对某种商品愿意并且能够购买的有效需求量Q与该商品的价格P之间一一对应关系的函数,记作dQQP．2.2供给函数供给函数是反映在每一可能的价格水平下生产者对某种商品愿意并且能够提供的有效供给量Q与该商品的价格P之间一一对应关系的函数，记作SQQP．2.3效用函数效用函数是反映消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数．它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度．其表达式是：,,...UUxyz式中,,...xyz分别代表消费者所拥有或消费的各种商品的数量．2.4产量函数产量函数又称作生产函数，它反映厂商在生产过程中投入的一种或者几种要素量与最大产量之间的关系．需要指出的是，产量又可以分为总产量、平均产量和边际产量，分别记为,,TPAPMP,对应的产量函数分别是()TPTPx，APAPx，其中x表示一种或几种要素组合．2.5成本函数成本函数反映的是在厂商的生产过程中投入的成本TC与产品数量Q之间的关系的函数，由于成本函数是建立在生产函数的基础上的，而生产理论中将生产分为短期和长期两种，短期生产有可变要素投入和不变要素投入之分，因此通常认为短期成本函数也分为可变成本与固定成本，记作12TCTCQCCQ，其中1C为固定成本，2CQ为可变成本．2.6收益函数收益函数反映的是厂商销售商品的数量Q与收益R之间的关系，记作RRQPQQ，其中PQ为商品的价格函数．3导数在微观经济学中的应用3.1导数与边际分析[9]函数()yfx的导函数0()limxyyfxx是函数的变化率，在经济学中称做fx的边际函数，导数值0fx称为fx在0xx处的边际值．经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少，如效用函数、产量函数、成本函数、收益函数，它们的导数分别称作边际效用、边际替代率、边际产量、边际成本、边际收益．3.2导数与最优化分析最优化分析包括最大化分析和最小化分析，微观经济学是从单个经济个体的角度来研究资源最优配置的学科，作为理性的经济人必然会依据自己的效用偏好，在既定的资源约束条件下做出一个最优的经济决策，这就是最优化的实质．在理论上有生产者利润最大化、消费者效用最大化、生产要素组合最优化．如何实现给定条件下的最优化，其基本分析工具是微积分，如一阶导数．(1)生产者利润最大化生产者是以利润最大化为目的进行生产的，因此，理性的厂商在生产过程中必然会选择一个最优的生产点．厂商的利润等式为：LQTRQTCQ．由微积分知识可得，满足上式利润最大化的条件是：0LQTRQTCQMRMC，即厂商应该选择最优的产量使得边际收益MR等于边际成本MC，这样，厂商才能获得最大的利润．将利润最大化的均衡条件简称为MRMC．这个均衡条件有时也被称为利润最大或亏损最小的均衡条件．生产者往往依据最优化原理来做出生产决策，确定最优产量．具体而言，当生产者将产量定在MRQMCQ时，即边际成本等于边际收益下的产量为最优产量．3.3导数与弹性分析在前面我们已经知道，导数是函数的变化率，但它只是绝对变化率，而有时我们在比较不同函数的变量对其自变量波动的灵敏程度时，还需要知道它的相对变化率，即应变量y的相对改变量与自变量x的相对改变量之比．这也就是我们要介绍的将导数引入弹性分析问题．在微观经济学中，典型的弹性问题有需求弹性，需求的收入弹性，需求的交叉弹性，供给弹性等．3.4偏导数与效用分析在效用论中效用是指消费者在消费商品时所感受到的满足程度，它是消费者对商品满足自己欲望的能力的一种主观心理评价．但是偏导数引入，仍然可以对效用进行定量分析，即提出效用函数，其中最典型的是柯布—道格拉斯函数,Uxy，商品x和商品y的价格分别为xP和yP，消费者的收入为M，α和β为常数,且α+β=1，接下来分析：(1)该消费者关于商品x和商品y的需求函数；(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变．(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费指出占消费者收入的份额．分析如下：(1)由消费者的效用函数Uxy，算得：1xUMUxyx，1yMUxy消费者的预算约束线方程xyPxPyM．根据我们上面分析的消费者效用最大化的均衡条件：xxyyMUPMUP---------------①xyPxPyM-------------②得11/xyPxyxyP------------③xyPxPyM-------------------④解方程组可得：/,/xyxMPyMP，即为消费者关于商品x和商品y的需求函数.(2)当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为xyPxPyM，其中λ为一非零常数．此时消费者效用最大化的均衡条件变为：11/xyPxyxyP------------①xyPxPyM-------------②由于≠0,故方程化为11/xyPxyxyP-----------③xyPxPyM--------------------④显然，其解就是/,/xyxMPyMP，这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变．(3)由消费者的需求函数/,/xyxMPyMP可得：/xPxM，/yPyM上述两式正是商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额，故结论被证实．6小结通过本文的粗浅分析,我们可以认识到仅仅是微积分在微观经济学中的运用就已经很广泛而且深入.因此,要想掌握好本科阶段学习的经济学理论,学好高等数学便是一个十分必要的环节,无论是高等代数、线性代数还是概率论与数理统计等,都应该给予很高的重视,这样才能深入探究西方经济学、国际经济学、计量经济学等经济学学科,为今后的进一步学习研究打下良好的基础.同样，对企业经营者来说，对其经营环节进行定量分析也是非常必要的．数学这个分析工具的运用，不仅可以给企业经营者提供精确的数值化的经营成果信息，还可以为企业经营者做出合理的经营预测提供新的思路和手段，这也是数学应用性的具体体现．因此，作为一个合格的企业经营者，在日常经营管理活动中应该积极运用相应的数学分析方法，例如本文所分析的微积分法，从而为科学的经营决策提供可靠依据