微积分基本定理_Microsoft_Word_文档

11.6微积分基本定理一：教学目标；知识与技能目标；通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法；通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观；通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。二：教学重难点；；重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点了解微积分基本定理的含义三：教学过程；：1、复习：定积分的概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()vto），则物体在时间间隔12[,]TT内经过的路程可用速度函数表示为21()TTvtdt。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在12[,]TT上的增量12()()STST来表达，即21()TTvtdt=12()()STST而()()Stvt。对于一般函数()fx，设()()Fxfx，是否也有()()()bafxdxFbFa若上式成立，我们就找到了用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差2()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分的方法。注：1：定理如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则()()()bafxdxFbFa证明：因为()x=()xaftdt与()Fx都是()fx的原函数，故；()Fx-()x=C（axb）其中C为某一常数。令xa得()Fa-()a=C，且()a=()aaftdt=0即有C=()Fa，故()Fx=()x+()Fa()x=()Fx-()Fa=()xaftdt令xb，有()()()bafxdxFbFa此处并不要求学生理解证明的过程；为了方便起见，还常用()|baFx表示()()FbFa，即()()|()()bbaafxdxFxFbFa该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。例1．计算下列定积分：；（1）211dxx；（2）3211(2)xdxx。；练习：计算120xdx；例2．计算下列定积分：2200sin,sin,sinxdxxdxxdx。；由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为'(cos)sinxx，所以00sin(cos)|(cos)(cos0)2xdxx，；322sin(cos)|(cos2)(cos)2xdxx，2200sin(cos)|(cos2)(cos0)0xdxx.；可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时（图1.6一4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；；(3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图1.6一5)，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？4微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！51.7定积分的简单应用一、学习目标1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.让学生了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）二、教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用教学过程：1、复习1.求曲边梯形的思想方法是什么？2.定积分的几何意义是什么？3.微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.6例2．计算由直线4yx，曲线2yx以及x轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7一2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4yx与曲线2yx的交点的横坐标，直线4yx与x轴的交点．由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin320xxy　　与直线,,320xxx轴所围成的图形面积。练习1、求直线32xy与抛物线2xy所围成的图形面积。2、求由抛物线342xxy及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。xyoy=－x2+4x-373、求曲线xy2log与曲线)(logxy42以及x轴所围成的图形面积。4、在曲线)0(2xxy上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为121.试求：切点A的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200xx（，则切线方程为2002xxxy，切线与x轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有1211223022002202000xdxxxxxdxxSxxx)(10x，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(Axy总结：1、定积分的几何意义是：axxfyba与直线上的曲线在区间)(],[、xbx以及轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－xxbaSSdxxf)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　2,sinxxy的图像与x轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。（二）定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即xxOy=x2ABC8例3、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．2、变力作功一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b(ab)，则力F所作的功为例4、如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所做的功．例5、一物体按规律做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例系数为正实数k），试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功．课堂小结：本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积，即定积分在几何中的应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解．9课下提高练习、1、如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（）A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28J2、求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）A．［0，］B．［0，2］C．［1，2］D．［0，1］3、已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）A．B．C．D．二、填空题4、将由y=cosx，x=0，x=，y=0所围图形的面积写成定积分形式为___________．三、解答题5、求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的图形面积．106、求由抛物线及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积．7、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为．试求：切点A的坐标以及切线方程．8、如图，求由两条曲线，及直线y=－1所围成图形的面积．119、A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的加速度为1.2t(m/s2)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24－1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求：（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间．