微积分复习提纲

2015-2016年第二学期期末考试复习提纲一.小题知识点1.掌握球面的标准方程与一般方程（P3-4例2.例3）2.会求二元函数的定义域（P13习题6-2第4题）3.会判断差分方程的阶数（P156习题8-9第2题）4.会正确设出二阶常系数线性非齐次方程的特解形式（P138习题8-7第1题）5.会判断微分方程的阶数（P108例4）6.会交换二重积分的积分次序（P56习题6-8第3题（1）-（3）7.会求抽象多元函数的一阶导数（P31习题-5第7题）8.会求幂级数的收敛域（P90例2)9.掌握二重积分的性质：d=区域D的面积（P46性质3）10.熟记等比级数的敛散性（P69例3）11.掌握级数收敛的必要条件并会简单应用：若nnlimU不等于0，则级数发散(P72性质4）二.大题知识点1.会求简单函数的二阶偏导数（P8例5，例6）2.会求三元函数的全微分以及在某点的全微分（P22例3）3.会求隐函数的一阶偏导数（P30例8)4.会用比较判别法，比值判别法判别正项级数的敛散性（P81习题7-2第1题的(1)-(4);第2大题的(1)-(4)；5.会判定级数的绝对收敛与条件熟练（P85习题7-3第1题(1)-(3))6.会求幂级数的收敛域及和函数（P92例6;P93习题7-4第4题的(1);7.会求多元函数的条件极值（P37例7例8;P42习题6-6第4题）8.会计算直角坐标系下和极坐标系下的二重积分（P50例1例2;P59例1例2）9.会求一阶线性非齐次方程的通解（P119例1;P120例2）10.会求二阶常系数线性齐次方程的通解与满足初始条件的特解(P133习题8-6第2题）11.会正确设出二阶常系数线性非齐次方程的特解形式（P135例1）一、1.例2(E02)建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.解设),,(zyxM是球面上任一点，根据题意有,||0RMMRzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx特别地:球心在原点时方程为.2222Rzyx例3(E03)方程042222yxzyx表示怎样的曲面？解对原方程配方，得,5)2()1(222zyx所以，原方程表示的球心在、)0,2,1(0M半径为5R的球面方程.例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数..1ln)cos()4(;052)3(;42)2(;)1(32222xyyxydxdydxydxxdxdydxdyxyxdxdy解(1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的dxdy和y都是一次.(2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的dxdy的平方项.(3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的dxdy的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数)cos(y和.lny例2（E02-03）求下列幂级数的收敛域.212)1()4(;!)3(;)()2(;)1()1(1111nnnnnnnnnnnxnnxnxnx解)1(nnnaa1limnnn/1)1/(1lim1limnnn,1所以收敛半径.1R当1x时，级数成为,)1(1nnn该级数收敛;当1x时，级数成为,11nn该级数发散.从而所求收敛域为].1,1((2)因为nnna||limnnlim,故收敛半径,0R即题设级数只在0x处收敛.(3)因为nnnaa1lim!1)!1(1limnnn11limnn,0所以收敛半径,所求收敛域为).,((4)令,21xt题设级数化为,2)1(1nnnntn因为nnnaa1limnnnnn212lim1,2所以收敛半径,21R收敛区间为,21||t即.10x当0x时，级数成为,11nn该级数发散;当1x时,级数成为,)1(1nnn该级数收敛.从而所求收敛域为].1,0(例3（E03）讨论等比级数(又称为几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解当,1q有ns12...naqaqaqa.1)1(qqan若,1q有,0limnnq则nnslim.1qa若,1q有,limnnq则nnslim.若,1q有,nasnnnslim.若,1q则级数变为ns],)1(1[21na易见nnslim不存在.综上所述,当1q时，等比级数收敛,且......2naqaqaqa.1qa例1（E01）讨论p—级数)0(131211pnppp的收敛性.解1p时，,11nnpp级数发散.1p时，由图可见,11nnppxdxnpppnns131211,111111111111121pnpxdxxdxxdxpnnnppp即ns有界，p级数收敛.当1p时收敛故p级数.当1p时发散例6(E06)求差分方程031ttyy的通解.解由(3)式得，原方程的通解为.3ttAy二、大题例5（E05）设yxxyyxxz223334,求.,,,,33222222xzyzyxzxyzxz解xz,1361222yxyxyz;1632xyx22xz,624yx22yz,6xyxz2,66yxxyz2.66yx例6（E06）求)ln(yxxz的二阶偏导数.解xz,)ln(yxxyxyz,yxx22xz2)(1yxxyxyx,)(22yxyx22yz,)(2yxxyxz22)(1yxxyx,)(2yxyxyz22)()(yxxyx.)(2yxy例3(E03)求函数yzeyxu2sin的全微分.解由,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu故所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例8(E08)求由方程yzzxln所确定的隐函数),(yxfz的偏导数.,yzxz解设,ln),,(yzzxzyxF则,0),,(zyxF且.1,1,1222zzxyzyzxzFyyzzyyFzxF利用隐函数求导公式，得.)(,2zxyzFFyzzxzFFxzzyzx例8（E06）求幂级数11)1(nnnnx的和函数.解由例4(1)的结果知，题设级数的收敛域为],1,1(设其和函数为),(xs即nxxxxxxsnn1432)1(432)(显然,0)0(s且112)1(1)(nnxxxxsx11),11(x由积分公式,)0()()(0xsxsdxxs得xdxxssxs0)()0()(xdxx011),1ln(x因题设级数在1x时收敛，所以)1ln()1(11xnxnnn).11(x例13(E07)求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱长为,,,zyx则问题就是在条件),,(zyx2222axzyzxy0(1)下,求函数)0,0,0(zyxxyzV的最大值.作拉格朗日函数),,,(zyxL),222(2axzyzxyxyz由..,0)(20)(20)(2zyxzxyxzyzyzxyxxyxyLzxxzLzyyzLzyx代入(1)式,得唯一可能的极值点:,6/6azyx由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a的长方体中,以棱长为6/6a的正方体的体积为最大,最大体积.3663aV例15(E08)设销售收入R(单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用yx,(单位:万元)之间的关系为yyxxR101005200利润额相当五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元,试问如何分配两种广告费用使利润最大?解设利润为,z有zyxR51.1020540yxyyxx,限制条件为.25yx这是条件极值问题.令),,(yxL)25(1020540yxyxyyxx从,01)5(2002xLx01)10(2002yLy22)10()5(yx又,25xy解得,15x.10y根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知,当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时,可使利润最大.例1（E01）计算,Dxyd其中D是由直线2,1xy及xy所围成的闭区域.解一如图，将积分区域视为—X型,dxxydyxydxD211dxyxx12122.81148222124213xxdxxx解二将积分区域视为—Y型,Dxyddyxydyxydxyy221221222142213822yydyyy.811例3（E02））计算二重积分,Dxyd其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的闭区域.解如图,D既是—X型，也是—Y型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.dyxydxxydyyD2122dyyyydyyxyy21522212])2([21222162346234421yyyy.855例1(E01)计算Dyxdxdy221，其中D是由122yx所确定的圆域.解如图，区域D在极坐标下可表示为,10r,20故Dyxdxdy221102201rrdrddr10220)]1[ln(21d2ln2120202ln21.2ln例2(E02)计算Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域D是由4122yx所确定的圆环域.解由对称性，可只考虑第一象限部分,,41DD注意到被积函数也有对称性,则有dxdyyxyxD))sin(2222dxdyyxyxD))sin(42222rdrrrd2021sin4.4例1（E01）求方程xxyxysin1的通解.解,1)(xxP,sin)(xxxQ于是所求通解为Cdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsin).cos(1Cxx例2（E02）求方程2/5)1(12xxydxdy的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.由012yxdxdy12xdxydyCxyln)1ln(2ln.)1(2xCy用常数变易法,把C换成,u即令,)1(2xuy则有),1(2)1(2xuxudxdy代入所给非齐次方程得,)1(1/2xu两端积分得,)1(322/3Cxu回代即得所求方程的通解为.)1(32)1(2/32Cxxy例1（E01）下列方程具有什么样形式的特解?(1);653xeyyy(2);3652xxeyyy(3).)