微积分第六章定积分4节.

二、积分上限函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第四节微积分基本定理要求：理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT变速直线运动的速度与路程问题一、引例上式表明：v(t)在区间12[,]tt上的定积分值21()ttvtdt可以表示为它的一个原函数在积分区间的两个端点处的函数值之差21()()stst.2121()()().ttvtdtstst这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)定理函数,则xx1.积分变限函数设函数f(t)在区间[a,b]上可积，由积分区间的可加性，对任意[,],xab定积分()xaftdt存在.Otyab()yft二、积分变限函数及其导数()x()xaftdt是定义在[a,b]记作(),x上的函数,即()(),xaxftdt称为积分上限函数.[,],xabx()xaftdt是定义在[a,b]记作(),x上的函数,即()(),xaxftdt称为积分上限函数.同理,可以定义区间[a,b]上的函数()(),bxxftdt[,],xab[,],xab称为积分下限函数.积分变限函数xxOtyab()yft()xx思考：讨论这类函数的可导性.证)(xx定理1(原函数存在定理)],,[)(baCxf设则积分上限函数且对上限的导数等于.],[)()(上的一个原函数在是baxfx因为,],[上的可导函数是ba即函数在上限处的值被积.xxxd))((d)(xattfxd)()()(xf)(bxaxattfd)()()(xxxxdd从而ttfad)(xx)()(xxx.之间与在xxx)(fx,],[)(上连续在因baxfxxx0lim)()(limfx)(xf.x积分中值定理xf)(xxxttfd)(定积分性质3故,0时而xxattfd)(xxattfd)(ab)(xfyOxyx)(x)(fxx定理1指出:连续函数f(x)一定有原函数,xattfxd)()(就是f(x)的一个原函数.函数这为通过原函数计算定积分开辟了道路.12sinxtdtx2sin232sinxxtdtxxx6sin32sin222d2sind2sin3xaaxtttt0xtdtx12sinxtdtx1)2sin(xxxtdt12sin2sin例如推论axttfxd)(dd)1()(d)(dd)2(xgattfxxattfxgxd)()(dd)3(xattfxgd)()()(xg)(xf)]([xgf)(xg)()(d)(ddxgxhttfxxattfd)(xdd)()(xfxg],,[)(baCxf设,)(可导函数xg].,[bax[()]()[()]()fgxgxfhxhx()()d()d()ddagxhxafttfttx例).(,d1)(02xfttttxfx求设解)(xf例).(,d11)(2sin2xfttxfx求设解xusin)(xf)(xfutt22d11ttxd11sin22xuddxx2sin1cosxucos112uttu22d11dd12xxx例).(,d)(23xftexfxxt求设解tetexfxtxtdd)(3220dxttetexxfxtddd)(202xetextd30x23xe23x00texxtddd30例21cos0dlim2xtextx解1cosddd2xttexxttexcos1ddd2xe2cosxex2cossin21cos0dlim2xtextxxexxx2sinlim2cos0e2100这是型不定式,分析应用洛必达法则)(cosx注含积分变限函数求极限的题目通常要涉及洛必达法则.并从判断分子分母是否为无穷小入手.证:根据定理1,故CxxfxFxad)()(因此)()(d)(aFxFxxfxa得记作三、微积分基本定理)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)定理2.函数,则)()(d)(aFbFxxfba微积分基本公式表明baxF)(注一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.,时当ba)()(d)(aFbFxxfba仍成立.桥梁作用:求定积分转化为求原函数（求导数或微分的逆运算）计算方法:公式提供一种计算定积分的简单、快捷方法例计算解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例计算正弦曲线的面积.解:0dsinxxAxcos01[]12)4(yoxxysin()[,]()()fxCabFxfx且注:N-L公式的适用条件思考:★在区间[-1,1]上,函数在点x=0处为无穷间断,不满足可积条件.例,21,5,10,2)(xxxxf设.d)(20xxf求解20d)(xxf1021d5d2xxx61210d)(xxf21d)(xxfxyO5注如被积函数是分段函数,应分段分成几个再用牛顿—莱布尼茨公式.积分,分段函数分段积分xxxd)12(10解,210时当x,121时当x原式1dx41;0)12(xx.0)12(xx0)12(xx令.21,0xx0dx2121)12(xx)12(xx如被积函数有绝对值,注再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例解nnnnn12111lim求极限此极限实为一积分和的极限.ninin11limnninin111lim1ixixd10)1ln(x2ln)1()(limd)(10niiibaxfxxf定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.即它表示每项为●用定积分求极限时,●需将(1)式中的两个任意量用特殊的值处理.10x11dxx211或内容小结,)()(,],[)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理()()Fba)()(aFbF微分中值定理()()fba牛顿–莱布尼兹公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．2.积分上限函数(变上限积分)xattfxd)()(积分上限函数的导数)()(xfx注意其推论——也是考试的热点.备用题解：1.设求定积分为常数,,d)(10axxf设bxxf20d)(,则故应用积分法定此常数.