南师附中2015届高三数学校模数学卷

1绝密★启用前南京师大附中2015届高三模拟考试试卷数学2015.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：棱锥的体积公式zhui1V=Sh3棱，其中为S棱锥的底面积，h为棱锥的高.一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．．1．若集合2{},{0,},,AaBaAB则集合A▲．简答：{1}.意图：提醒认真审题。2．设复数1zi（i为虚数单位），若1，1z对应的向量分别为OA和OB，则向量AB的模为▲．简答：22.3．在平面直角坐标系xOy中，已知P点的横坐标与纵坐标都是集合{1,0,1,2}A中的任意元素，则P点正好落在抛物线21yx上的概率为▲．简答：316.4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为▲．简答：对于在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30..25．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值为▲．简答：9.6．不等式12x的解集是▲．1(,0)[,)27．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线221xmy的焦点到渐近线的距离为2，则m的值是▲．简答：12.8．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为▲cm3．简答：48.9．设na是首项为1的等比数列，nS是na的前n项和，满足369SS，则数列1na的前5项和为▲．简答：显然q1，所以3639(1q)1-=121-q1qqqq，所以1{}na是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和5511()31211612T.10．已知函数()2sin(),(0,02)fxx的部分图像如图所示，则()f的值为▲．简答：由图象知最小正周期T＝32（445）＝32＝2，故＝3，开始是输出n否n←1，S←0S100S←S+2nn←n+2结束3又x＝4时，32(),4kkZ可得54，所以，52()2sin(3).42f.11．设函数fx是定义在实数集R上的奇函数，且yfx的图象关于直线12x对称，则12345fffff的值为▲．解：00ff得00f，假设0fn，因为点（n，0）和点（1,0n）关于12x对称，所以10fnfnfn，因此，对一切正整数n都有：0fn，从而：123450fffff.12．在平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线上2yx运动，点Q在圆:A22(2)(1)1xy运动，则OAPQ的最大值为▲．简答：运用数量积的几何意义知，为65.13．设G为非空集合，对于给定的运算，若满足：（1）对任意a、bG，都有abG；（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称集合G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①集合G{非负整数}，运算为整数的加法；②集合G{平面向量}，运算为平面向量的加法；③集合G{二次三项式}，运算为多项式的加法；④集合G{虚数}，运算为复数的乘法．其中集合G关于运算为“融洽集”的是▲．（写出其中所有“融洽集”的序号）解析：非空集合G关于运算满足：（1）对任意,abG，都有abG；（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①,G非负整数为整数的加法,满足任意,abG，都有abG，且令0e，有00aaa，所以①符合要求；②,G平面向量为平面向量的加法,取0e，满足要求，∴②符合要求；4③,G二次三项式为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③不符合要求；④,G虚数为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴④不符合要求，这样G关于运算为“融洽集”的有①②．14．在平面直角坐标系xOy中，设a为实数，曲线1exyax在xm处的切线为1l，曲线1xxye在xm处的切线为2l．若存在3[0,]2m，使得12ll，则a的取值范围是▲．简答：3[1,]2二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在四边形ABEF中，AFFB，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面垂直于平面ABEF．(1)求证：AF平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF．证明：(1)因为平面ABCD平面ABEF，ABCB，平面ABCD平面ABEF=AB，所以CB平面ABEF，（2分）又AF平面ABEF，则AFCB，（4分）又AFBF，且BFBCB，,BFBC平面CBF，所以AF平面CBF.（7分）(2)设DF的中点为N，则CDMN21//，（9分）又CDAO21//，则AOMN//，所以四边形MNAO为平行四边形，所以//OMAN.（12分）又AN平面DAF，OM平面DAF，所以//OM平面DAF.（14分）ABCDEFMO516．（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，已知01)cos(102cos3BAC．(1)求cosC的值；(2)若c＝1，cosA＋cosB＝233，求a的值．解(1)由01)cos(102cos3BAC，得02cos5cos32CC，（3分）即0)1cos3)(2(cosCC，解得31cosC或2cosC(舍去)（6分）(2)由31cosC得322sinC，则cosB＝－cos(A＋C)＝－13cosA＋223sinA，（9分）代入cosA＋cosB＝233，得cosA＋2sinA＝3，从而得sin(A＋φ)＝1，其中sinφ＝33，cosφ＝63，0φπ2.则A＋φ＝π2，于是sinA＝63，（12分）由正弦定理得23sinsinCAca.（14分）17．（本小题满分14分）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%．（1）若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金．试分析函数y＝lg5xkx(k为常数)是否为符合集团要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg20.3,lg50.7）；（2）设a为正整数，若采用函数15()8xafxx作为奖励函数模型，试求a的最小值．解(1)对于函数模型f(x)＝lg5xkx(k为常数)，100x时，9y，代入解的150k，（3分）所以f(x)＝1f(x)lg550xx6当x∈[50,500]时，f(x)是增函数，但x＝50时，f(50)＝8lg27.5，即f(x)≤320x不恒成立，故该函数模型不符合要求．（6分）(2)对于函数模型15()8xafxx，即120()158afxx，a为正整数，函数在[50,500]递增；min()(50)7fxf解得344a；（9分）要使f(x)≤320x对x∈[50,500]恒成立，即153820xaxx，23276200xxa恒成立，（11分）所以317.4a．综上所述，a≥317.4，所以满足条件的最小的正整数a的值为317．（14分）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12FF、，离心率为e．直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点AB、，M是直线l与椭圆C的一个公共点，点P是点1F关于直线l的对称点．若AMAB．（1）求证：21e；（2）若43，12MFF的周长为6，求ab、的值；（3）确定的值，使得12PFF是等腰三角形．解答：（1）证法一：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(bacabycxbyaxaexyaea这里得由.所以点M的坐标是（abc2,）.（2分）由).,(),(2aeaabeacABAM得7即221eaabeacea解得（4分）证法二：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是).,0(),0,(aea设M的坐标是),,(),(),,(0000aeayeaxABAMyx得由所以.)1(00ayeax（2分）因为点M在椭圆上，所以,1220220byax即.11)1(,1)()]1([22222222eebaaea所以,0)1()1(2224ee解得.1122ee即（4分）（2）当43时，21c，所以.2ca（6分）由△MF1F2的周长为6，得.622ca（8分）所以.3,1,2222cabca椭圆方程为.13422yx（10分）（3）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即.||211cPF（12分）设点F1到l的距离为d，由,1||1|0)(|||21221ceecaeacedPF（14分）得.1122eee所以.321,3122ee于是即当,32时△PF1F2为等腰三角形.（16分）解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是),(00yx，则2002020002013,12(1)0..122yexcxceeeayxcyeae解得（10分）8由|PF1|=|F1F2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.312e（14分）于是2213e.即当32时，△PF1F2为等腰三角形.（16分）19．（本小题满分16分）设a为实数，若函数f(x)=(x－1)ex－ax2，（xR）．（1）当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极值；（3）当a∈(0,1]时，若函数f(x)在区间[0,a]上的最大值为M(a)，求M(a)．解：（1）当a＝0时，f(x)=(x－1)ex，f(x)＝xex，（2分）x∈(－∞,0)时，f(x)＜0，函数单调递减；x∈(0，+∞)时，f(x)＞0，函数单调递增.（4分）(2)f(x)＝x(ex－2a)（6分）①a≤0时，因为ex－2a＞0，x∈(－∞,0)时，f(x)＜0,函数单调递减；x∈(0，+∞)时，f(x)＞0，函数单调递增。x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)=－1。（8分）②a＞0时，令f(x)＝ex(x－2a)＝0，解出x1=0或x2＝ln(2a)。若ln(2a)=0，即a＝12，f(x)＝x(ex－1)