山西省太原市2016届高三模拟考试(一)数学理

·1·2016年太原市高三年级模拟试题（一）数学理一、选择题1.已知全集0123456U，，，，，，，集合013A，，,集合2,6B,则UUCACB为A、5,6B、4,5C、0,3D、2,6答案：B解：=4,5UUUCACBCAB说明：=UUUCACBCAB=UUUCACBCAB2.已知i是虚数单位，则复数534ii的共轭复数是A、1－iB、－1＋iC、1＋iD、－1－i答案：C解：222534532017317171444174iiiiiiiiiii∴复数534ii的共轭复数是1i说明：⑴形如Z=a+bi（其中Rba，）称为复数，a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）zabi为z的共轭复数.00.00bzzzbazz实数为虚数纯虚数⑵两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，，，，（其中，且.⑶复数集是无序集，不能建立大小顺序。两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若21,zz为复数，则1若021zz，则21zz.（×）若21zz，则021zz.（√）②特别地：000aabib·2·⑷2222zzzzab3.已知双曲线22221(0,0)yxabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为A、22126xyB、22162xyC、2213yxD、2213xy答案：C解：∵双曲线22221(0,0)yxabab的一个焦点坐标为（2，0）∴2c，焦点在x轴上∵渐近线方程是3yx∴3ba令3(0)bmm则am∴2222cabm∴1m∴1,3ab∴双曲线方程为2213yx4.等比数列na中，11a，公比q=2，前n项和为nS，下列结论正确的是A.000021*,2nnnnNaaaB.12*,nnnnNaaaC.1*,nnnNSaD.00000312*,nnnnnNaaaa答案：C解：11122,2112nnnnnaSA.0000001112122,22nnnnnnaaa，00001111022220nnnnn∴A错B.121112222,2nnnnnnnaaa，构造函数2xfx，易知fx在R上单调递增当x=2时，211fxfx∴R上不能保证211fxfx恒成立∴B错C.1nnSa恒成立即212nn恒成立，显然C正确·3·5.执行如图所示的程序框图，若输出的2524S，则判断框内填入的条件可以是A、k7B、k7C、k8D、k8答案：D解：k=0,s=0,设满足的条件为P.圈数条件Pks1满足21/22满足43/43满足611/124满足825/24可以得出：k=2，4，6时满足条件，8时不满足条件,∴k86.设函数22,ln3xfxexgxxx，若实数a，b满足0fagb，则A.0fbgaB.0gafbC.0gafbD.0fbga答案：B解：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以0a1；又g(1)＝－20，g(2)＝ln2＋10，所以1b2，所以f(b)0，g(a)0，故g(a)0f(b)7.设函数0,0,2fxAxA（）的部分图像，若1263xx，，，且12=fxfx，则12fxxA．1B．·4·C．22D．32答案：D解：由图象可得A=1，，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），点（3，0）相当于y=sinx中的0（，）故选：D8.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数A．135B．172C．189D．162答案：C解：由题意，不考虑特殊情况，共有312C种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种红色卡片，共有23C19C种取法，故所求的取法共有312C﹣4﹣23C19C=189种．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A、2B、83C、4D、209·5·答案：B解：先考虑将主视图补成正方形，则三视图中两个正方形一个等腰三角形构成的几何体如下图中的三棱柱ABC-EDF,，再考虑视图内部的线，可以知道该几何体是三棱柱ABC-EDF截去三棱锥E-ADF余下的部分。所以V=11182222222323ABCEDFEADFABCEDFAEDFVVVVEACFBD10.已知变量x，y满足约束条件10100xyxyxa，若122yx，则实数a的取值范围是A、（0,1］B、［0,1）C、［0,1］D、（0,1）答案：C解：2yx表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K,由图易观察到BC与y轴重合时，12ACkk,当BC向右移动时，12ACkk,综上，0,1a11.在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为22，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为A、3B、4C、5D、6答案：D解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，yxx=ax-y-1=0x+y-1=01–112CBOAEBDCAP·6·而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=3，∴PE=33，DP=233∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为22，即tan22AEP∴AP=263，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∴外接球的半径为62∴外接球的表面积=4πr2=6π12.若函数22ln(0)fxxaxax有唯一零点x0，且mx0n(m，n为相邻整数)，则m+n的值为A.1B.3C.5D.7答案：C解：令2122,ln(0)yxyaxax，312222222,(0,0)xayxyaxxxx在0,1上1y为减函数，在1,上1y为增函数，所以1y为凹函数，而2y为凸函数∵函数22ln(0)fxxaxax有唯一零点x0，∴12,yy有公切点00(x,y)则02002200020000022212ln02lnaxxxxxxxxxaxx·7·构造函数22212ln,0gxxxxxxx13g12412(4)ln257ln22g欲比较5与7ln2大小，可比较5e与72大小，∵572e∴20g22221320geeeeeee∴2,xe∴m=2，n=3∴m+n=5说明：2.7e二、填空题13.若（a+x）(1+x)4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为答案：18解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=-1，则a0-a1+a2-…-a5=f（-1）=0．②①-②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则(1+x)4取x，x，x，1即x3的系数为34312C当（3+x）中取x，则(1+x)4取x，x，1，1即x3的系数为246C∴展开式中x3的系数为1814.圆心在曲线2(0)yxx上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为答案：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．解：由圆心在曲线2(0)yxx上，设圆心坐标为（a，2a）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，·8·由a＞0得到：d=22141555aa，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．15.在锐角∆ABC中已知B=3，ABAC=2,则ABAC的取值范围是答案：（0,12）解：解法1以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则ABAC=x2﹣x=（x﹣12）2﹣14，所以ABAC的范围为（0，12）．解法2∵∠B=3，△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°=a=2由正弦定理可得0sinAsinsin120abcBA∴3sinbA,02sin120sinAcA∴202223sin1203333coscostantantansintanAABACcbAAAAAAA·9·∵30,3tanA∴0,12ABAC16.已知数列{an}满足：11nnna（）an(2n)，记Sn为{an}的前n项和，则S40=．答案：440解：当n=2k时，即2212kkaak①当n=2k-1时，即222121kkaak②当n=2k+1时，即22121kkaak③①+②2224k-1kkaa③-①12211kkaaS40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）10101=11071523=107108=4402三、解答题17.已知a,b,c分别为锐角∆ABC内角A,B,C的对边，且3a=2csinA⑴求角C⑵若c=7，且∆ABC的面积为332，求a+b的值.解：（1）∵3a=2csinA∴正弦定理得3sin2sinsinACA，∵A锐角，∴sinA＞0，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，由于a+b为正，所以a+b=5．18.在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手（1至6号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；·10·（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，A