惠州2012年中考数学模拟试卷

惠州2012年中考数学模拟试卷(时间：100分钟，满分120分)一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．27的立方根是（）A．3B．3C．9D．92．5月31日，参观上海世博会的游客约为505000人.505000用科学记数法表示为()A．505×103B．5.05×103C．5.05×104D．5.05×1053．下列计算正确的是()A．a4＋a2＝a6B．2a·4a＝8aC．a5÷a2＝a3D．(a2)3＝a54．方程组x＋y＝3x－y＝－1的解是()A.x＝1y＝2B.x＝1y＝－2C.x＝2y＝1D.x＝0y＝－15．一个几何体的三视图如图所示．那么这个几何体是()二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)6．若x、y为实数，且x＋3＋|y－2|＝0，则x＋y＝.7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于.8．一组数据1,6，x,5,9的平均数是5，那么这组数据的中位数是.9．双曲线y＝2k－1x的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是.10．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有个．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．计算：(－2011)0＋22－1＋||2－2－2cos60°.12．解方程：x＋4xx－＝3x－1.13．先化简，再求值：a－1a2－4a＋4－a＋2a2－2a÷4a－1，其中a＝2－3.14．如图，已知二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图象经过A(2,0)，B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．15．某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB＝6m，∠ABC＝45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC＝30°(如图所示)．(1)求调整后楼梯AD的长；(2)求BD的长(结果保留根号)．四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)16．日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？参考数据：sin36.90≈35，tan36.90≈34，sin67.50≈1213，tan67.50≈12517．2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．18．绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．(1)王灿有几种方案安排甲、乙两种货车可一次性地将水果运到销售地？(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝23，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积(结果保留根号和π)．五、解答题(本大题共3小题，每小题9分，共27分)20．对于任何实数，我们规定符号acbd的意义是acbd＝ad－bc.(1)按照这个规定请你计算5768的值；(2)按照这个规定请你计算：当x2－3x＋1＝0时，x＋1x－23xx－1的值．21．已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(3)若⊙O的直径为18，cosB＝13，求DE的长．22．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0,7)两点．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y＞0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.C二、填空题6.－17.38.59.k1210.100三、解答题11.解：原式＝1＋2＋2－2－1＝212.解：方程两边同乘最简公分母x(x－1)，得x＋4＝3x，解得x＝2.经检验：x＝2是原方程的根．∴原方程的解为x＝2.13.解：原式＝a－1a－2－a＋2aa－÷4－aa＝aa－－a－2a＋aa－2·a4－a＝1a－2.当a＝2－3时，原式＝13.14.解：(1)把A(2,0)，B(0，－6)代入y＝－12x2＋bx＋c，得－2＋2b＋c＝0c＝－6，解得b＝4c＝－6.∴这个二次函数的解析式为y＝－12x2＋4x－6.(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－42×－12＝4，∴点C的坐标为(4,0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝12×AC×OB＝12×2×6＝6.15.解：(1)已知AB＝6m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB·sin45°＝6×22＝32，∵∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝62.答：调整后楼梯AD的长为62m.(2)CD＝AD·cos30°＝62×32＝36，∴BD＝CD－BC＝36－32.答：BD的长为(36－32)m.16.解：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里，在Rt△APC中，∵tan∠A＝PCAC，∴AC＝PCtan67.5°＝5x12.在Rt△PCB中，∵tan∠B＝PCBC，∴BC＝xtan36.9°＝4x3.∵AC＋BC＝AB＝21×5，∴5x12＋4x3＝21×5，解得x＝60.∵sin∠B＝PCPB，∴PB＝PCsin∠B＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里)．∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．17.解：(1)∵红球有2x个，白球有3x个，∴P(红球)＝2x2x＋3x＝25，P(白球)＝3x2x＋3x＝35，∴P(红球)P(白球)，∴这个办法不公平．(2)取出3个白球后，红球有2x个，白球有(3x－3)个，∴P(红球)＝2x5x－3，P(白球)＝3x－35x－3，x为正整数，∴P(红球)－P(白球)＝3－x5x－3.①当x3时，则P(红球)P(白球)，∴对小妹有利．②当x＝3时，则P(红球)＝P(白球)，∴对小妹、小明是公平的．③当x3时，则P(红球)P(白球)，∴对小明有利．18.解：(1)设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(8－x)辆，依题意得4x＋－xx＋－x，解此不等式组得2≤x≤4.∵x是正整数，∴x可取的值为2,3,4.因此安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车乙种货车方案一2辆6辆方案二3辆5辆方案三4辆4辆(2)方案一所需运费为300×2＋240×6＝2040元；方案二所需运费为300×3＋240×5＝2100元；方案三所需运费为300×4＋240×4＝2160元．∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．19.解：(1)如图(需保留线段AD中垂线的痕迹)．直线BC与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC.∴∠ODA＝∠DAC.∴OD∥AC.∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC.又∵直线BC过半径OD的外端，∴BC为⊙O的切线．(2)设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，OD2＋BD2＝OB2，∴r2＋(23)2＝(6－r)2，解得r＝2.∵tan∠BOD＝BDOD＝3，∴∠BOD＝60°.∴S扇形ODE＝60π·22360＝23π.∴所求图形面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.20.解：(1)5768＝5×8－6×7＝－2.(2)x＋1x－23xx－1＝()x＋1()x－1－3x()x－2＝x2－1－3x2＋6x＝－2x2＋6x－1.又∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1，原式＝－2(x2－3x)－1＝－2×(－1)－1＝1.21.(1)证明：如图，连接CD，则CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD,即点D是AB的中点．(2)解：DE是⊙O的切线．理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(3)∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴cos∠B＝cos∠A＝13.∵cos∠B＝BDBC＝13，BC＝18，∴BD＝6，∴AD＝6.∵cos∠A＝AEAD＝13，∴AE＝2.在Rt△AED中，DE＝AD2－AE2＝42.22.解：(1)把A(－2，－1)，B(0,7)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得－4－2b＋c＝－1c＝7，解得b＝2c＝7.所以，该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7，又因为y＝－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8，所以对称轴为直线x＝1.(2)当函数值y＝0时，－x2＋2x＋7＝0的解为x＝1±22，结合图象，容易知道1－22x1＋22时，y0.(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.因为C、D两点的纵坐标相等，所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，所以p＝2－m，所以CD＝(2－m)－m＝2－2m.因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或5.因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.于是，点C的坐标为(－1,4)．