成才之路人教A版数学必修2-1.3.1第1课时

第一章1.31.3.1第1课时一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C．2倍D．2倍[答案]D[解析]由已知得l＝2r，S侧S底＝πrlπr2＝lr＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于()A．27B．43C．6D．3[答案]C[解析]设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c＝1，ab＝2，a2＋b2·c＝5，∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π[答案]A[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S侧＝h2＝4π2r2，∴S全S侧＝1＋2π2π.规律总结：圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2[答案]B[解析]原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a，其表面积为6×13a2＝23a2，总表面积S2＝27×23a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.5．(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32B．16＋162C．48D．16＋322[答案]B[解析]易知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则斜高为22，故S侧＝4×12×4×22＝162，S底＝4×4＝16，所以S表＝16＋162.6．(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240[答案]D[分析]根据三视图可以确定此几何体为四棱柱，再由数量关系分别去确定侧面积与底面面积，相加为该几何体的表面积．[解析]几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.[易错警示]本题在求解过程中易错误将3作为等腰梯形的腰长，从而误求结果为200.二、填空题7．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝________cm.[答案]3[解析]圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案]24＋23[解析]该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋23.9．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案](410＋28)π[解析]挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.三、解答题10．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．[答案]297[解析]设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上＝π×22＝4π，圆台的下底面面积为S下＝π×52＝25π，所以圆台的底面面积为S＝S上＋S下＝29π.又圆台的侧面积S侧＝π(2＋5)l＝7πl，则7πl＝29π，解得l＝297，即该圆台的母线长为297.11．(2013～2014·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝23.如图所示易知△AEB∽△AOC，∴AEAO＝EBOC，即323＝r2，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.12．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析]几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h′＝22，其表面积S＝42＋4×4×2＋(12×4×22)×4＝48＋162cm2.