成才之路人教A版数学选修2-21.2.2第2课时

选修2-2第一章1.21.2.2第2课时一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1[答案]C[解析]∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是()A．nn＋1B．n＋2n＋1C．nn－1D．n＋1n[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1fn}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.5．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．y′＝22cos2x－π4B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝sin2x＋cos2xD．y′＝22cos2x＋π4[答案]A[解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.6．(2013·烟台质检)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]依题意可设f(x)＝ax2＋c(a0，且c0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a0，故选B.二、填空题7．(2013·天津红桥区高二段测)已知函数f(x)＝x·2x，当f′(x)＝0时，x＝________.[答案]－1ln2[解析]f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，由f′(x)＝0及2x0知，1＋xln2＝0，∴x＝－1ln2.8．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋5π6.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.9．(2014·江西临川十中期中)已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．[答案]12ln2[解析]∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝1x＋a，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且1x0＋a＝2，解之得a＝12ln2.三、解答题10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．[解析]∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝52，c＝－92.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝52x4－92x2＋1.一、选择题11．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－1x＋1.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.12．(2013·全国大纲文，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9B．6C．－9D．－6[答案]D[解析]y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，∴a＝－6.13．已知y＝tanx，x∈0，π2，当y′＝2时，x等于()A．π3B．23πC．π4D．π6[答案]C[解析]y′＝(tanx)′＝sinxcosx′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x＝2，∴cos2x＝12，∴cosx＝±22，∵x∈0，π2，∴x＝π4.14．(2014·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为()A．ln22B．－ln22C．ln2D．－ln2[答案]C[解析]f′(x)＝ex－ae－x，由f′(x)为奇函数，得f′(x)＝－f′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝32，解得x0＝ln2，故选C.二、填空题15．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－12x－12|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.16．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．[答案]2[解析]设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又∵y′|x＝x0＝1x0＋a＝1.∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ex＋1ex－1；(3)y＝x＋cosxx＋sinx；(4)y＝cosx·sin3x.[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝－2exex－12.(3)y′＝x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′x＋sinx2＝1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosxx＋sinx2＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1x＋sinx2.(4)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.18．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.求b，c的值．[解析]由f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.