成才之路数学选修2-1之第一章综合能力检测

成才之路数学选修2-1第一章综合能力检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．△ABC中，sinA＝sinB是∠A＝∠B的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]△ABC中，sinA＝sinB⇔A＝B.2．如果命题“綈(p或q)”为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题[答案]C[解析]∵綈(p或q)假，∴p或q真，∴p与q至少一真．3．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M[答案]D[解析]即原命题的逆否命题，结论的否定b∈M作条件，条件的否定a∉M作结论，故选D.4．如果不等式|x－a|1成立的充分非必要条件是12x32，则实数a的取值范围是()A.12a32B.12≤a≤32C．a32或a12D．a≥32或a≤12[答案]B[解析]|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1由题意知12，32(a－1，a＋1)则有a－1≤12a＋1≥32，且等号不同时成立解得12≤a≤32，故选B.5．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是()A．m－1，n5B．m－1，n5C．m－1，n5D．m－1，n5[答案]A[解析]∵P∈A∩∁UB，∴P∈A且P∉B，∴2×2－3＋m02＋3－n0，∴m－1n5，故选A.6．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC[答案]C7．已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.8．(2010·福建文，8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]本题主要考查充分必要条件问题．当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．9．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案]D[解析]若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，又x∈R，则必存在x，使ax2＋bx＋c0.故原命题真，其逆否命题也为真，其逆命题为“若{x|ax2＋bx＋c0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下．”当a＝0时，显然为假命题，则其否命题也为假，故选D.10．(09·宁夏海南理)有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12p2：∃x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyp3：∀x∈[0，π]，1－cos2x2＝sinxp4：sinx＝cosy⇒x＋y＝π2其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4[答案]A[解析]p1是假命题，∵∀x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1；p2是真命题，例如：当x＝y＝π2时，sin(x－y)＝sinx－siny＝0.p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sinx0，∴1－cos2x2＝|sinx|＝sinx.p4是假命题，例如：sinπ6＝cos7π3x＋y＝π2.11．“θ＝2π3”是“tanθ＝2cosπ2＋θ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]解法一：∵θ＝2π3为方程tanθ＝2cosπ2＋θ的解，∴θ＝2π3是tanθ＝2cosπ2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tanθ＝2cosπ2＋θ的解，∴θ＝2π3不是tanθ＝2cosπ2＋θ的必要条件，故选A.解法二：∵tanθ＝2cosπ2＋θ，∴sinθ＝0或cosθ＝－12，∴方程tanθ＝2cosπ2＋θ的解集为A＝θθ＝kπ或θ＝2kπ±23π，k∈Z，显然2π3A，故选A.12．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是()A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．已知b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥aC．已知b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．已知b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c[答案]C[解析]A的逆命题是：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，真命题；B的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设有两个命题：p：|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，实数m的取值范围是________．[答案]1m2[解析]若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7－3m1，所以m2，若p真q假，则m∈∅.若p假q真，则1m2.综上所述，1m2.14．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．[答案]可以填以下几种情形之一：①x轴，－3－log2x②y轴，3＋log2(－x)③原点，－3－log2(－x)④直线y＝x,2x－315．已知p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的________条件．[答案]充分不必要[解析]命题：“如果a＋b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，则a＋b＝5”，显然是真命题．∴p⇒q即有：p是q的充分条件．同理：p不是q的必要条件．∴p是q的充分条件，但不是必要条件．16．(2010·四川文，16)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3.a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)[答案]①②[解析]本题考查根据所给信息解决实际问题的能力，要注意从基本概念，基本公式着手，理解题目中给出的信息是什么．对于①②都正确，对于③，封闭集不一定是无限集，例如当S＝{0}时，S是有限集，对于④不正确，例如当S＝{0}，M是自然数集N时，M不是封闭集．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．[解析](1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．18．(本题满分12分)“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．[解析]“若p则q”形式：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假．否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假．逆否命题：“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真．19．(本小题满分12分)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：|1－x2|1.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．[解析]由lg(x2－2x－2)≥0得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，∴x≥3或x≤－1.由|1－x2|1，－11－x21∴0x4.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4，则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤－1或x≥4}，∴满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解析]p：A＝{x|x－2或x10}，q：b＝{x|x1－a或x1＋a，a0}如图依题意，p⇒q，但q⇒/p，说明AB，则有a01－a≥－21＋a≤10且等号不同时成立，解得0a≤3∴实数a的取值范围是0a≤321．(本小题满分12分)求使函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．[解析]要使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是：a2＋4a－50Δ＝16(a－1)2－4(a2＋4a－5)×30，或a2＋4a－5＝0a－1＝0解得1a19或a＝1，故1≤a19.所以使函数f(x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a19.22．(本小题满分14分)证明二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)0.[解析]充分性：设Δ＝b2－4ac≤0则af(x)＝a2x2＋abx＋ac＝a2(x＋b2a)2－b24＋ac＝a2(x＋b2a)2－14(b2－4ac)≥0，所以af(m)≥0，这与af(m)0矛盾，即b2－4ac0.故二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个不等的零点，设为x1，x2，且x1x2，从而f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)0，所以x1mx2.必要性：设x1，x2是方程的两个零点，且xx2，由题意知x1mx2，因为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，且x1mx2.∴af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)0，即af(m)0.综上所述，二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)0.