工程力学5第五章弯曲应力.

主讲:符春生第五章弯曲应力yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述纯弯曲梁分析截面上正应力弯矩M作用产生什么应力?FS纯弯曲：如图CD段。剪切(横力）弯曲：如图AC段和BD段。MABCDFaaF§5－2梁弯曲时横截面上的正应力纯弯曲梁：弯矩不为零，剪力为零（1）横线：变形后仍为直线，但转过一角度，并与纵线仍正交。MM一.纯弯曲梁的正应力中性层与横截面的交线——中性轴z；z（2）纵线：弯成弧线，上部缩短，下部伸长,中间有一层纵线既不伸长，也不缩短——中性层。y对称轴1﹒几何关系yz横线纵线（1）平面假设：横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线正交；•基本假设（2）单向受力假设：各纵向线（纤维）之间无挤压。每一纵向线处于单向受力状态。1122MM（对称轴）z(中性轴）yyρ——变形后中性层的曲率半径。y——任一纵线到中性层的距离。dθ——1-1和2-2截面的相对转角。中性层122ρdθa'b'o'1o'2ba1212o1o2dx任一条纤维的线应变为：中性层122ρdθa'b'o'1o'21212aboooo()ydddy2.物理关系:yz⊕⊖EyE3.静力学关系:zySz=0——中性轴z通过横截面的形心。Iyz=0——梁发生平面弯曲的条件。dAzyEIz——弯曲刚度0NzAAEEFdAydAS0yyzAAEEMzdAyzdAI2zzAAEEMydAydAIM1zMEIzMyI说明：(2)符号：①由M与y的符号确定σ的符号；⑴线弹性;弯曲截面系数WZ=ymaxIzzy②由弯曲变形确定。maxmaxzzMyMIW(3)zMyI①z轴为对称时：②z轴为非对称时:二.纯弯曲正应力公式的推广ytzyyccmaxmaxtczMWmaxttzMyImaxcczMyI1()()zMxxEI()zMxyImaxmaxzMW例1：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：该梁C截面的弯矩最大，Mmax=10×3=30kN.m⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ324311232.6710mm162zbhbhWh3maxmax5301091.8MPa32.6710zMW⑵圆形截面133.5mmd=43336423.3610mm322zddWd3maxmax63010128.4MPa23.3610zMW24dAbh⑶工字形截面。选用50C号工字钢,其截面面积为139000mm2。在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。结论如下：33208010mmzW3maxmax6301014.4MPa208010zMW§5-3矩形截面梁的切应力1、两点假设:（1）切应力与横截面的侧边平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切应力互等定理bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxmn2、弯曲切应力公式y——所求点距中性轴的距离。FSFSmnnmMM+dMdxyabmnσ'σ''abmnzMyI()zMdMyIdxmnyzabFN1FN2dF*SzzFSIbSdMFdx=y'dA21NNdFFFmnσ'σ''abmn*1**ddNzAAzzMMFAyASII式中：*2**ddddNzAAzzMMMMFAyASIIddFbxFS——横截面上剪力。Iz——整个横截面对中性轴z的惯性矩。b——横截面宽度。Sz*——横截面上距中性轴y处横线一侧截面对中性轴的面积矩。dxmnyzabFN1FN2dFy'dA*SzzFSIb3、切应力沿截面高度的分布2236()()4xhybhSFτττmaxmax3()3()0,22SSFxFxybhAhzbyy=±h/2，τ＝0＋－*SzzFSIb比较F剪切弯曲时，平面假设不再成立mmm'm'γ1、腹板FS——横截面上剪力。矩形截面的两个假定同样适用。yzbhdδh1翼缘腹板一、工字形截面梁y§5-4、其他形状截面梁的切应力zdxh1bδδyhFN1FN2dF*SzzFSIdSdMFdx=21NNdFFF*1**ddNzAAzzMMFAyASII式中：*2**ddddNzAAzzMMMMFAyASIIddFdx*1111111()[()]()[()]222222222zhhhhhhhSbdyyy2222111[()()]2442hhhbdy工字形截面梁腹板上的切应力:FS——横截面上剪力。Iz——整个工字形截面对中性轴z的惯性矩。d——腹板宽度。Sz*——距z轴y处横线一侧阴影部分截面对z的面积矩。τmaxyzbhdδh1y222211[()()]2444zhhhyIdSFτ*SzzFSIdτ1τ1（c）*1**NzAAzzMMFdAydASII式中：*2**NzAAzzMdMMdMFdAydASII1dFdx其中——面积δ×u对中性轴的面积矩。*zS*1()2zSuh2、翼缘F’N2'F’N1'Bdxu（b）dFzdxubδδuh(a)21NNdFFFτ1τ'1*SzzFSI切应力流：切应力沿截面像水流一样流动的现象。工字形截面梁切应力的分析方法同样适用于T字形，槽形，箱形等截面梁。τ1τ1（c）二、圆形截面梁*maxmaxSzzFSIb4π4dA=2428364ddSdFd43SFAzτmaxydA三、薄壁圆环截面梁zR0maxmaxδ*maxmax0222SzSzFSFIAAR例2：一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力截面上的切应力分布图。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60解:(1)确定横截面形心的位置.(2)计算横截面的惯性矩Iz.Iz=186.6×106mm4yc=180q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c6022.5M(kN.m)1.5m40(3)画剪力、弯矩图.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=180FS(kN)3050401.5m(4)计算最大拉应力和最大压应力由于该梁的截面不对称于中性轴，因而横面上下边缘的距离不相等，故需分别计算B、D截面的最大拉应力和最大压应力，然后比较。①在B截面上的弯矩为负，故该截面上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。σtmax=40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4MPa,σcmax=40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6MPa22.5M(kN.m)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180②D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力：σtmax=22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7MPa,σcmax=22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1MPa22.5M(kNm)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180∴σtmax=21.7MPa，发生在D截面的下边缘各点处。σcmax=38.6MPa，发生在B截面的下边缘各点处。*39maxmaxmax6350101806090104.34MPa186.6106010SzzFSIb396350102206070104.13MPa186.61060104.34MPa4.13MPa391max635010806070101.5MPa186.6106010280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切应力分布:yc=180τ1max例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。qABl123l/4h/4l/44zbhττmax解：(1)求支座反力:(2)画FS图和M图FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/443434ABFqlFql12zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/44max3324SFqlbhbh2max2916qlbh34zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/44*916SzzFSqlIbbh22332zMyqlIbh§5－4、梁的强度计算危险点：最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。危险截面：最大弯矩截面最大剪力截面一、梁的强度计算1、等截面梁的正应力强度条件为：注：①弯曲容许正应力[σ]弯略大于轴向拉压容许正应力[σ]轴，一般可取[σ]弯=[σ]轴。②当[σt]≠[σc]时，需分别计算σtmax和σcmax，使σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。2、等截面梁的切应力强度条件为:校核强度；设计截面；求容许荷载。强度计算：maxmaxzMW*maxmaxmaxSzzFSIb注：①一般情况下，只需按正应力强度条件来进行强度计算，不必对切应力作校核。②特殊情况下，需校核切应力强度。a.FS很大而M较小。b.焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复板高度很高，厚度很小时，腹板上产生相当大的切应力。c.木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核τ顺。d、题中给定[τ]。例4.如图一简支木梁。已知：[σt]=[σc]=10MPa，[τ]=2MPa。梁截面为矩形，b=80mm，求高度。2m10kN/mhbz解：由正应力强度条件确定截面高度，再校核切应力强度。1°按正应力强度条件计算h。22max111()22228llMqlqql=-=max[,]zMW由321101025000Nm843max65000510m1010zMW22110.0866zWbhh而可取h=200mm。2°切应力强度校核：3max111010210000N22SFqlmaxmax33100000.94MPa[]220.080.2SFbh故由正应力强度条件所确定的h=200mm能满足切应力强度条件。465100.194194mm0.08hm例5.一受载外伸梁及截面形状如图。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料为铸铁:[σt]=30MPa，[σc]=90MPa,[τ]=24MPa。试求q的容许值,并校核切应力强度。解：1°画剪力、弯矩图，确定危险截面、危险点。lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/m262max820.134430