工程实例报告1

基于LQR的二级倒立摆控制一、问题的描述对于二级倒立摆系统，在外力的作用下如何控制摆的角度在最短的时间内达到系统的平衡。二、数学模型的建立建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本报告采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设：1.上摆、下摆及小车均是刚体；2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象；3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感；5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；6.上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度；二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2图2.2二级倒立摆运动分析示意图倒立摆系统参数如下：M=1.32Kg（小车系统的等效质量）1m=0.04Kg（摆杆1质量）1l=0.09m（摆杆1转动中心到杆质心距离）1yxxFm1m32m2Mm2=0.132Kg（摆杆2质量）l2=0.27m（摆杆2转动中心到杆质心距离）3m=0.208Kg（质量块质量）F：作用在系统上的外力1：摆杆1与垂直向上方向的夹角2：摆杆2与垂直向上方向的夹角首先，计算系统的动能：321mmmMTTTTT(2.3)MT小车动能：212MTMx(2.4)1mT摆杆1动能：111mmmTTT(2.5)式中，'11mT——摆杆质心平动动能''11mT——摆杆绕质心转动动能22'111111(sin)(cos)12mdxldlTmdtdt2221111111111cos22mxmlxml(2.6)212112121121''161312121lmlmJTpm(2.7)则21211111121''1'1132cos21lmxlmxmTTTmmm(2.8)2mT摆杆2动能：222mmmTTT(2.9)式中，'22mT——摆杆质心平动动能''22mT——摆杆绕质心转动动能22'11221122222(2sinsin(2coscos)1122mdxlldllTmmdtdt2221112222111222112coscos2sinsin22mxllmll(2.10)2222222222222''261312121lmlmJTm(2.11)'''22222111222122coscos2mmmTTTmxxll122121222221212cos434421llllm(2.12)3mT质量块动能：22111133(2sin)(2cos)12mdxldlTmdtdt2223311131112cos22mxmlxml(2.13)因此，可以得到系统动能：123MmmmTTTTT222211111111112cos223Mxmxmlxml22211122coscos2221llxxm122121222221212cos434421llllm212131113232cos221lmxlmxm(2.14)系统的势能为：123mmmVVVV11131121122cos2cos2coscosmglmglmgll(2.15)至此得到拉格朗日算子L：LTV222211111111112cos223Mxmxmlxml22211122coscos2221llxxm122121222221212cos434421llllm11121213111323cos2cos221glmlmxlmxm22112113coscos2cos2llgmglm(2.16)由于因为在广义坐标21,上均无外力作用，有以下等式成立：011LLdtd(2.17)022LLdtd(2.18)展开(2.17)、(2.18)式，分别得到(2.19)、(2.20)式)cos(2(3))(3(4)sin(61222211321212222lmlmmmlm0))cossin))((2(11321xgmmm(2.19)22111222112123sin6sin()46cos()3cos0glllx(2.20)将(2.19)、(2.20)式对21,求解代数方程，得到以下两式21221312111sin)cos(3sin4sin4sin2(3(gmgmgmgm1122212221212112cos2)sin(4)sin()cos(6xmlmlm/))cos)cos(3cos4cos422121312xmxmxm)))(cos912124(2(21223211mmmml(2.21))cos3)sin(6sin3())(3(94(221211222132122xlgllmmmm/)))cossin))((2(3)sin(6)(cos(3211321212222212212xgmmmlmllm))(cos4))(3(916(21222212222213212llmllmmmm(2.22)表示成以下形式：),,,,,,(212111xxxf(2.23)),,,,,,(212122xxxf(2.24)取平衡位置时各变量的初值为零，1212(,,,,,,)(0,0,0,0,0,0,0)0Axxx(2.25)将(2.23)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令11100AfKx(2.26)1231120112313(244)2(4312)AgmgmgmfKmmml(2.27)121302123192(4312)AfmgKmmml(2.28)11400AfKx(2.29)115010AfK(2.30)116020AfK(2.31)123117012313(24)2(4312)AmmmfKxmmml(2.32)得到线性化之后的公式xKKK172131121(2.33)将),,,,,,(212122xxxf在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令22100AfKx(2.34)123222012212322(2())164(3())9AgmmmfKmlmmml(2.35)123223022212324(3())163(4(3()))9AgmmmfKmlmmml(2.36)22400AfKx(2.37)225010AfK(2.38)226020AfK(2.39)123123227022123242(2())(3()3164(3())9AmmmmmmfKxmlmmml(2.40)得到xKKK272231222(2.41)即:xKKK172131121(2.42)xKKK272231222(2.43)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程:xu(2.44)取状态变量如下：2615423121xxxxxxxx(2.45)则状态空间方程如下：uKKxxxxxxKKKKxxxxxx271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000(2.46)将以下参数代入27.009.08.9208.0132.004.032.121321llgmmmM求出各个K值：12131777.0642-21.19275.7012KKK222327-38.532137.8186-0.0728KKK得到状态方程各个参数矩阵：000100000010000001000000077.064221.1927000038.532137.8186000A0728.07012.51000B100000010000001000C三、LQR控制器参数Q、R的设计一般来说，加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷上考虑的。为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意义，通常将加权阵Q和R选为对角阵。这样可以看出iq是对状态X平方的加权，iq相对增大就意味着对X的要求较严;R是对控制量u的平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速。对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使其在调节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性范围内，根据前面对二级倒立摆运动分析，在考虑倒立摆系统的各个状态时，上摆偏角2应比下摆的偏角1重要，下摆的偏角1应比小车的位移x重要，因此要在选择加权矩阵Q和R时反映这些要求。利用遗传算法优化加权矩阵Q。1.确定参数的染色体编码方法。将Q矩阵的对角线6个元素作为待寻优参数，采用长度为10位的二进制编码串来分别表示这6个参数，然后将这些二进制编码串连接在一起，组成一个6×10位长的二进制编码串；取R=0.1；2.确定解码方法。解码时需先将8×10位长的二进制编码串切断为6个10位长的二进制编码串，然后分别将它们转换为对应的十进制整数代码；3.确定优化目标函数的类型及数学描述形式。在LQ最优控制中取目标函数J为)(PtraceJ，这里P为0)()(QRKKBKAPPBKATT4.设计遗传算子。选择运算采用比例选择算子，交叉运算采用单点交叉算子，变异运算采用基本位变异算子；5.选取遗传算法的控制参数。设群体大小为80，最大迭代次数为200，交叉概率选为0.9，变异概率选为0.01并随机产生初始群体；6.确定个体评价方法。在本设计中将适应度取为目标函数值的倒数，即1/fJ；7.进行遗传算法搜索过程，即采用随机采样的方法选择个体、通过交叉和变异产生新个体、再计算新个体的目标函数值JJ；8.如果收敛条件满足(即超过给定的最大代次)，则结束算法；否则，重复7。通过上述算法就确定了使目标函数值最小加权矩阵Q中的待优化元素的值，从而确定反馈控制规律的向量K。四、利用matlab进行系统性能的仿真与评价（一）模型仿真1.当加权矩阵：[100,100,200,0,0,0]Qdiag，R=0.1时，反馈矩