解三角形专题题型归纳

1《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1．正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变式：12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.3．余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5．常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）111=sinsinsin2224abcSabCacBbcARABCR为外接圆半径（两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC中，ABC，所以①sinsinABC；②coscosABC；③tantanABC；④sincos,22ABC⑤cossin22ABC7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角2在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如：①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45.（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用1．在ABCV中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C．3D．322．在ABCV中，2223abcbc，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3．设ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,若coscossinbCcBaA,则ABCV的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定4．若△ABC的三个内角满足7:5:3sin:sin:sinCBA，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形35．在ABC中，若cosAcosB＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点三：利用正余弦定理求三角形的面积6．在ABC中，3AB,1AC,30A，则ABC面积为()A．32B．34C．32或3D．34或327．已知ABC的三边长3,5,6abc，则ABC的面积为()A．14B．214C．15D．215考点四：利用正余弦定理求角8．在锐角中,角所对的边长分别为.若()A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定10．在,内角所对的边长分别为且,则()A．B．C．D．考点五：正余弦定理实际应用问题11．如图：A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？三、高考真题赏析1．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.ABC,AB,ab2sin3,aBbA则角等于12643ABC,,ABC,,.abc1sincossincos,2aBCcBAbabB632356tantan2(tantan).coscosABABBA42．（2016年四川）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.3．（2016年全国I）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．54．(2015高考新课标2)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．(Ⅰ)求sinsinBC；(Ⅱ)若1AD，22DC，求BD和AC的长．5．（2015高考四川，理19）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantantantan2222ABCD的值.ABCD66．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在RtABC中，60A，6AB，点D、E是斜边AB上两点．(I)当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求CDCA的值；(II)当点DE、在线段AB上运动时，且30DCE，设ACD，试用表示DCE的面积S，并求S的取值范围．