带参数的分类数据的检验

1第四讲带参数的分类数据的检验一、引例根据性别和色盲状态把人分为四类：男性正常，女性正常，男性色盲，女性色盲。根据遗传学理论，这四类人的比例分别为2，22(1)，(1)2，2(1)2，其中01。随机调查1000人，男性正常，女性正常，男性色盲，女性色盲这四类人各有442，514，38，6人。问调查数据是否与理论模型相符？分析：（1）总体为所有人，按性别和色盲状态分为四类：1A—男性正常，2A—女性正常，3A—男性色盲，4A—女性色盲；（2）每类人的比率（概率）分别为：12p，2222(1)2p，3(1)2122p，224(1)2122p；每类人的比率1p，2p，3p，4p都依赖于未知参数；（3）根据理论或经验提出假设：11()pp，22()pp，33()pp，44()pp；（4）做试验获得观察数据色盲状态正常色盲性别男44238女5146（5）根据观察数据检验如下假设：20H：12p，222p，3122p，24122p若接受0H，说明调查数据符合理论模型；若拒绝0H，说明调查数据不符合理论模型。二、带参数的分类数据检验问题的统计模型（一）问题的一般提法1、总体分布设总体根据某项指标分为n类，记为12,,,rAAA，各类所占的比例记为11211(,,),(,,),,(,,)mmrmppp，其中1,,m为未知参数，且1(,,)0imp，11(,,)1rimip。也即总体分布为：总体类别1A2ArA比例11(,,)mp21(,,)mp1(,,)rmp2、假设检验根据理论，或从经验出发提出一个原假设：01:(,,)iimHpp，1,2,,ir（*）其中1(,,)imp的表达式已知，1,2,,ir已知，且11(,,)1rimip。3、研究内容对该总体独立重复观察n个个体，记n个个体中，属于iA的观察个数为in，1,2,,ir，其中1riinn，基于观察值in，1,2,,ir对原假设（*）进行检验。3（二）检验方法1、带参数分类数据的2检验（1）在0H成立时，先求未知参数1,,m的最大似然估计1ˆˆ,,m0H成立时,随机向量12111(,,,)~,(,,),,(,,)rmrmnnnMnpp，12(,,,)rnnn的联合分布列为：1211112!(,,,;,,)[(,,)]!!!irnrmimirnpnnnpnnn也即样本12(,,,)rnnn的似然函数为：1121112!(,,;,,,)[(,,)]!!!irnmrimirnLnnnpnnn基于似然函数求出1,,m的最大似然估计1ˆˆ,,m；注：具体求解方法依赖于函数1(,,)imp的具体表达式。（2）由最大似然估计的变换不变性求出12,,,rppp的最大似然估计1112211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(,,),(,,),,(,,)mmrrmpppppp；（3）检验统计量221ˆ()ˆriiiinnpnp（4）统计量的渐进分布若0H成立，当n时，2221ˆ()(1)ˆrFiiiinnprmnp（5）拒绝域（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）221{(1)}Wrm若2W，则在检验水平下拒绝0H；4若2W，则在检验水平下接受0H；（6）检验p值（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）22(1)pPrm若p，则在检验水平下拒绝0H；若p，则在检验水平下接受0H；2、似然比检验检验问题（*）的似然比12121121112,,,1212,,,(,,),(,,),,(,,);,,,(,,,;,,,)mrmmrmrrrpppSupLpppnnnSupLpppnnn12121,,,1,,,1[(,,)]imirrnimirnipppiSuppSupp（1）同带参数分类数据的2检验的（1），求出1,,m的最大似然估计1ˆˆ,,m；（2）同带参数分类数据的2检验的（2），求出12,,,rppp的最大似然估计1112211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(,,),(,,),,(,,)mmrrmpppppp；（3）1211,,,11ˆˆ[(,,)][(,,)]iimrrnnimimiiSuppp1212ˆˆˆrnnnrppp12121,,,111,,,11ˆ[(,,)]ˆiiimiirrrnnnimiriiirrnniiiipppiiSuppppnnSuppnn（4）检验统计量51ˆ2ln()2lnriiiipnnn（5）统计量的渐进分布若0H成立，当n时，21ˆ2ln()2ln(1)rFiiiipnrmnn（6）拒绝域（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）21{2ln()(1)}Wrm若2ln()W，则在检验水平下拒绝0H；若2ln()W，则在检验水平下接受0H；（7）检验p值（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）2(1)2ln()pPrm若p，则在检验水平下拒绝0H；若p，则在检验水平下接受0H；三、引例分析（1）记号1A—男性正常，2A—女性正常，3A—男性色盲，4A—女性色盲；11()pPA，22()pPA，33()pPA，44()pPA；1n：正常男性人数，2n：正常女性人数，3n：男性色盲人数，4n：女性色盲人数；（2）观察数据1442n，2514n，338n，46n，12341000nnnnn；6（3）原假设0H：12p，222p，3122p，24122p（4）的最大似然估计似然函数：4123411234!(;,,,)[()]!!!!iniinLnnnnpnnnn514644238221000!22122122442!514!38!6!对数似然函数12341234(;,,,)ln(;,,,)lnnnnLnnnn221000!ln442ln2514ln238ln1226ln122442!514!38!6!令1234(;,,,)0lnnnn即4421028(1)38120(2)11整理得21520348219120234823482415201912ˆ21520ˆ1.3779（舍去）ˆ0.9129（5）1234,,,pppp的最大似然估计1ˆˆ20.4565p，22ˆˆˆ20.4962p，3ˆˆ1220.04355p，24ˆˆˆ1220.003793p7（6）2检验类别ˆipinˆinp2ˆ()ˆiiinnpnpA10.4565442456.50.46057A20.4962514496.20.638533A30.043553843.550.70729A40.00379363.7931.284168合计1.00004310001000.0433.090560812参数个数m1自由度1rm223.0905608p值0.2132521p值为0.2132521，表明不能拒绝0H，即认为调查数据符合理论模型。（7）似然比检验类别ˆipininnˆiipnnˆ2lniiipnnnA10.45654420.4421.03280543-28.53447507A20.49625140.5140.9653696536.23103163A30.04355380.0381.146052632-10.36058931A40.00379360.0060.6321666675.503226478合计1.000043100013.7763943782.839193727参数个数m1自由度1rm22ln()2.839193727p值0.24181148p值为0.24181148，表明不能拒绝0H，即认为调查数据符合理论模型。