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带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有:1.带电粒子电性不确定受洛仑兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电。当具有相同初速度时,正负粒子在磁场中的运动轨迹不同,导致形成双解。例1.如图1所示,第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m,电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中,初速度v0与x轴夹角60,试分析计算:(1)带电粒子从何处离开磁场?穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大?(2)带电粒子在磁场中运动时间多长?变式训练1:如图1所示,L1和L2是距离为D的两平行虚线,L1上方和L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场,A、B两点都在L2上.质量为m,电量为q的带电粒子从A点以初速v斜向上与L2成30°角射出,经过偏转后第一次又经过L2上的某点B,不计重力影响,求AB之间的距离2.磁场方向不确定磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小,而未指出其方向,此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。例2.一质量为m,电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是()A.4qBmB.3qBmC.2qBmD.qBm变式训练2:[07年全国Ⅱ卷19题]如图3所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动,周期为T0,轨道平面位于纸面内,质点速度方向如图中箭头所示。现加一垂直于轨道平面的匀强磁场,已知轨道半径并不因此而改变,则()A、若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将大于T0B、若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C、若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将大于T0图1v+图3图1D、若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T03.临界状态不惟一带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。例3.如图3甲所示,A、B为一对平行板,板长为l,两板距离为d,板间区域内充满着匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,一个质量为m,带电量为q的带电粒子以初速v0,从A、B两板的中间,沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内,粒子能从磁场内射出?变式训练3:一质量为m、带正电q的粒子(不计重力)从O点处沿+Y方向以初速υ0射入一个边界为矩形的匀强磁场中,磁场方向垂直于xy平面向里,它的边界分别为y=0、y=a、x=-1.5a,x=1.5a如图5所示,改变磁感应强度B的大小,粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度θ会随之改变。试讨论粒子可以从哪几个边界面射出,从这几个边界面射出时磁感应强度B的大小及偏转角度θ各在什么范围内?变式训练:如图6,一质量为m的带正电q的小球穿在一足够长的固定粗糙水平杆上,整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁感应强度方向如图,现给小球以向右的初速度V,则当小球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少?4.运动的重复性带电粒子在部分是磁场,部分是电场的空间运动时,运动往往具有重复性,因而形成多解。例4.如图4所示,在x轴上方有一匀强电场,场强为E,方向竖直向下。在x轴下方有一匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。在x轴上有一点P,离原点的距离为a。现有一带电量+q的粒子,质量为m,从静止开始释放,要使粒子能经过P点,其初始坐标应满足什么条件?(重力作用忽略不计)图3图4yxa1.5a-1.5a0v0B图5图6带电粒子在磁场中运动的多解问题-答案1.带电粒子电性不确定例1.解析:若带电粒子带负电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为O1,粒子向x轴偏转,并从A点离开磁场。若带电粒子带正电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为O2,粒子向y轴偏转,并从B点离开磁场。不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为RmvBq0。如图2,有OOOOROAOB1212带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为TRvmBq220(1)若粒子带负电,它将从x轴上A点离开磁场,运动方向发生的偏转角1120。A点与O点相距:xRmvBq330若粒子带正电,它将从y轴上B点离开磁场,运动方向发生的偏转角260,B点与O点相距:yRmvBq0(2)若粒子带负电,它从O到A所用的时间为tTmBq1136023若粒子带正电,它从O到B所用的时间为tTmBq223603变式训练1:解析:若粒子带正电,则轨迹为图2中1轨迹所示AL1L212OB1B2,qmv3260230tan2AB001BDRCOSD-图2若粒子带负电,则轨迹为图中2所示,qmv3260230tan2AB002BDRCOSD++2.磁场方向不确定。例2:解析:应选A、C。依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”,磁场方向有两种可能,且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中,由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知42BqvmvR,得vBqRm4此种情况下,负电荷运动的角速度为vRBqm4当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时,有22BqvmvR,得vBqRm2此种情况下,负电荷运动的角速度为vRBqm2变式训练2:解析:本题中,只说明磁场方向垂直轨道平面,那么可能的磁场方向就有两种,当磁场方向指向纸面内时,质点所受的洛仑兹力方向背离圆心,与库仑引力方向相反,则向心力减小,由RTF2)2m(=向心力可知,当轨道半径R不变时,该质点运动周期必增大,故A正确,同理可得,当磁场方向指向纸外时,粒子所受的洛仑兹力指向圆心,则向心力增大,故D也正确。。3.临界状态不惟一例3.分析:粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用,将做匀速圆周运动,圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使粒子能射出磁场区,半径r必须小于14d(粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出)或大于某个数值(粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出)。图3乙画出了两种临界情况的轨迹示意图。当粒子从左边射出时,若运动轨迹半径最大,则其圆心为图中O1点,半径rd14。因此粒子从左边射出必须满足rr1。由于rmvqB0,所以vrBqm0,即vBdqm04当粒子从右边射出时,若运动轨迹半径最小,则其圆心为图中O2点,半径为r2。由几何关系可得rrdlrdld222222224,图3因此粒子从右边射出必须满足的条件是rr2,即vdlqBdm02244()所以当vBdqm04或vdlqBdm02244()时,粒子可以从磁场内射出。变式训练3:解析:粒子做圆周运动的半径qBmvR0(1)当Ra时,粒子将从上边界射出,此时B<qamv0,2(2)当aR3a/4时粒子将从左边界射出,此时qamvBqamv3400,32(3)当aR43时,粒子将从下边界射出,此时qamvB340,θ=π.变式训练:解析:(1)当BqVmg时,杆给小球的支持力向下,球在摩擦作用下减速,洛仑兹力减小,则支持力也减小,摩擦力减小,小球做加速度越来越小的减速运动,当小球速度减为V末=mg/Bq时,洛仑兹力等于重力,支持力为零,此后小球以V末匀速运动,故克服摩擦力所做功为q2gm2m2m2m23222BVVVW-=末(2)当BqV=mg时,小球一开始所受支持力为零,摩擦力也为零,故一直以V匀速,小球克服摩擦所做功为零(3)当BqVmg时,杆给球的支持力向上,球在摩擦作用下减速,洛仑兹力减小,则支持力增大,摩擦力也增大,球做加速度越来越大的减速运动,最后小球速度减为零,故克服摩擦力所做功为2m2VW4.运动的重复性例4.解析:要使粒子能经过P点,其初始位置必须在匀强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置,讨论如下:(1)若粒子从y轴上由静止释放,在电场加速下进入磁场做半径为R的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、二个……半圆到达P点,故anRn212(),…①图4设释放处距O的距离为y1,则有qEymv1212②BqvmvR2③由①、②、③式有yBqanmEn1222812(),…(2)若粒子在电场中的起点坐标为(xy,2),依题意,有当xa,粒子不可能经过P点;当xa,不论y2取值如何,粒子均能经过P点;当xa,则axnRn212(),…,同理可得yBqaxnmEn2222812()(),…。带电粒子运动方向的不确定形成多解例题3:如图4所示,磁感应强度为B垂直纸面向里的匀强磁场中有一个粒子源S,能在图示纸面上360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子;若电子的发射速率为mqLBV,从点S射出后要击中相距L的O点,则点S处电子的射出方向与OS的夹角为多少?从S到点O的时间多少?分析:由已知条件可知电子圆周运动的半径为r=L,电子从点S射出后要经过点O,则直线SO为圆的一条弦,有如图所示两种运动轨迹存在;(1)由于题中SO=L=r,故∠OSO1=60°,那么电子从点S的发射速度V1的方向与SO所成的夹角150°,该轨迹对应运动时间为t1=e3m565BT;(2)图中∠OSO2=60°,故电子的发射速度V1的方向与SO所成的夹角θ=30°,该轨迹对应运动时间为t2=e3m61BT。带电粒子从某粒子源以一定速率射出时,速度方向往往是不确定的,在磁场中运动时形成不同的运动轨迹,从而形成多解。SOo1o2V2V1图4
本文标题:带电粒子在磁场中运动的多解问题
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