带电粒子过定点问题解题指导

【针对训练】附于文后!作者联系地址：湖北省荆州市沙市中学刘军邮编：434000E-mail：[e-mail]：１３０９８３０４４３６０７１６－８１９１８６５带电粒子过定点问题解题指导湖北省荆州市沙市中学(434000)刘军带电粒子以一定的速度进入设定的有界磁场或电场后，因其受洛仑兹力或电场力的作用，必将按一定的“径迹”运动．在某些问题中，题目明确告诉了粒子运动后通过某一“定点”，而要求据此求解有关的一些物理量，我们将此类问题称为带电粒子过定点问题，此类问题综合性强，在高考中考查率极高．对带电粒子过定点问题，可按以下几个环节进行分析：①根据带电粒子的初速度方向和受力分阶段把握粒子的运动过程；②定性画出粒子在磁场或电场中的运动轨迹和过定点的情景；③根据粒子运动轨迹的几何图形寻找其间的几何关系；④应用数学知识和相关物理规律分析解决问题．１、带电粒子经过单一磁场区域后过定点的问题例１在直径为d的圆形区域内存在均匀磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外．一电荷量为q，质量为m的粒子，从磁场区域的一条直径ＡＣ上的Ａ点射入磁场，其速度大小为0v，方向与ＡＣ成角．若此粒子恰好能打在磁场区域圆周上的Ｄ，AD与AC的夹角为角，如图１所示．求该匀强磁场的磁感应强度Ｂ的大小．解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，则有：RvmBqv200①如图２所示，粒子圆轨道的圆心Ｏ在过Ａ点与0v垂直的直线上，它到Ａ点的距离为Ｒ，图中直线ＡＤ是圆轨道的弦，故有ODAOAD，用表示此角度，由几何关系知：coscos2dRAD②2③由①②③可解得cos)sin(20qdmvB．点评：要注意区分“磁场圆”与粒子“轨迹圆”的不同，又要弄清它们之间的几何关系．例２一匀强磁场，磁场方向垂直于ｘｙ平面，在ｘｙ平面上，磁场分布在以Ｏ为中心的一个圆形区域内．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由圆点Ｏ开始运动，初速为v，方向沿ｘ正方向．后来，粒子经过ｙ轴上的Ｐ点，此时速度方向与ｙ轴的夹角为３００，Ｐ到Ｏ的距离为L，如图３图１0vADCd图２0vADCdo图3voxyLp030所示．不计重力的影响，求磁感应强度Ｂ的大小和ｘｙ平面上磁场区域的半径R．解析：设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则有：rvmqvB2①由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心Ｃ必在轴ｙ上，且Ｐ点在磁场区之外．过Ｐ沿速度方向作延长线，它与ｘ轴相交于Ｑ点．作圆弧过Ｏ点与ｘ轴相切，并且与ＰＱ相切，切点Ａ即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心Ｃ，如图４所示．由图中几何关系可得：rL3②由①②求得qLmvB3．图中ＯＡ的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得LR33．点评：依据题意定性画出“磁场圆”以及粒子在磁场中和飞出磁场后的运动轨迹是解答本题的关键，切不可想当然认为ｐ点在磁场中．２、带电粒子经过多个磁场区域后过定点的问题例３如图５所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径Ａ２Ａ４为边界的两个半圆形区域I、II中，Ａ２Ａ４与Ａ１Ａ３的夹角为６００．一质量为m、带电量为＋ｑ的粒子以某一速度从I区的边缘点Ａ１处沿与Ａ１Ａ３成３００角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于Ａ２Ａ４的方向经过圆心Ｏ进入II区，最后经过Ａ４处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求I区和II区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）．解析：设粒子的入射速度为v，因粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从Ａ４射出，如图６所示．用Ｂ１、Ｂ２、Ｒ１、Ｒ２、Ｔ１、Ｔ２分别表示在磁场I区和II区中磁感应强度、轨道半径和周期，则有：121RvmqvB①222RvmqvB②11122qBmvRT③22222qBmvRT④设圆形区域的半径为r,已知带电粒子过圆心且垂直Ａ２Ａ４进入II区磁场,连接Ａ１Ａ２，△Ａ１ＯＡ２为等边三角形，Ａ２为带电粒子在I区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径Ｒ１＝Ａ１Ａ２＝ＯＡ２＝ｒ，圆心角Ａ１Ａ２Ｏ＝６００，带电粒子在I区磁场中运动的时间图4voxyLp030crrRAQ图5o0601A2A3A4A030图6o0601A2A3A4A030为：611Tt⑤带电粒子在II区磁场中运动轨迹的圆心在ＯＡ４的中点，即22rR⑥在II区磁场中运动的时间为：222Tt⑦带电粒子从射入到射出所用的总时间为：21ttt⑧联立以上各式解得qtmB651，qtmB351．点评：确定带电粒子在两个不同磁场区域中运动时的圆心位置和半径大小是解答此题的关键，还要注意粒子从一个磁场区域进入另一磁场区域时轨迹的变化情况．例4如图７所示，在ｘ＜０与ｘ＞０的区域中，存在磁感应强度分别为1B与2B的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且1B＞2B．一个带负电荷的粒子从坐标原点Ｏ以速度v沿ｘ轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过Ｏ点，1B与2B的比值应满足什么条件？解析：粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v，交替地在ｘｏｙ平面内的1B与2B磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为1r和2r，有：11qBmvr①22qBmvr②现分析粒子运动的轨迹．如图８所示，在ｘｏｙ平面内，粒子先沿半径为1r的半圆1C运动至ｙ轴上离Ｏ点距离为12r的Ａ点，接着沿半径为2r的半圆1D运动至ｙ轴上的1O点，1OO的距离为：)(212rrd③图７vxy1Bo2B图８Axyo1ono1C1D1nC此后粒子每经历一次“回旋”（即从ｙ轴出发沿半径为1r的半圆和半径为2r的半圆回到原点下方的ｙ轴），粒子的ｙ坐标就减小d．设粒子经过n次回旋后与ｙ轴交于nO点，若nOO即nd满足12rnd④则粒子再经过半圆1nC就能够过原点，式中n１、２、３……为回旋次数，由③④式解得：121nnrr（n１、２、３……）⑤由①②⑤可得1B与2B的比值应满足的条件是112nnBB（n１、２、３……）．点评：把握粒子在两个不同磁场区域中运动的周期性特征和最后一次回到原点Ｏ的条件是解答此题的关键．3、带电粒子经过电场和磁场区域后过定点的问题例５如图９所示，在ｘｏｙ坐标平面的第一象限内有一沿－ｙ方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为m，电量为q的粒子（重力不计）以初速度0v沿－ｘ方向从坐标为),3(ll的ｐ点开始运动，接着进入磁场后恰好经过坐标原点Ｏ射出，射出时速度方向与ｙ轴方向夹角为045，求：（１）粒子从Ｏ点射出时的速度v和电场强度Ｅ；（２）粒子从ｐ点运动到Ｏ点的时间．解析：（１）依题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，由Ｑ点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由Ｏ点射出，如图１０所示．根据对称性可知，粒子在Ｑ点时速度大小为v，方向与－ｙ轴方向成045，则有：0045sinvv①粒子从ｐ点到Ｑ点的过程中，有：2022121mvmvqEl②由①②解得qlmvE220．（２）粒子在Ｑ点时沿－ｙ方向速度大小为045cosvvy，粒子从ｐ点到Ｑ点的运动时间为：qEmvavtyy1③图９045),3(llPBExyo0v图１０Q045),3(llPBExyo0v045粒子从ｐ点到Ｑ点沿－ｘ方向的位移为：10tvs④则Ｏ点到Ｑ点之间的距离为：slOQ3⑤粒子在磁场中的运动半径为r，则有：rOQ2⑥粒子在磁场中运动时间为：vrt2412⑦联立以上各式可得粒子在由ｐ点到Ｑ点的过程中的总时间为：021)42(vlttt．点评：分阶段弄清粒子在电场和磁场区域中的不同运动过程是解答此题的关键．４、自行设计方案使带电粒子过定点的问题例６如图１１所示，在直角坐标系ｘｏｙ平面内，有一质量为m、电荷量为q的电荷从原点Ｏ沿ｙ轴正方向以速度0v出发，电荷重力不计．现要求该电荷能通过点),(bap．试设计在电荷运动的空间范围内加上某种“场”后并运用物理知识求解的一种简单常规的方案．（１）说明电荷由Ｏ到p的运动性质并在图中绘出电荷运动轨迹；（２）用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表达式（用题设已知条件和有关常数）．方案一：在第I象限加垂直纸面向外的磁场Ｂ，使电荷做半径为2aR的半个圆周运动到Ｍ，然后匀速直线运动到p，由qBmvR0可得需要加的匀强磁场的磁感应强度为qamvB02，轨迹如图１２所示．方案二：在第I象限加垂直纸面向外的磁场Ｂ，在第IV象限内加沿+ｙ方向的匀强电场，且让bqmvE220，以保证电荷在电场中向下位移by，若anR2，则电荷可经过p点，则aqBnmv02，得aqnmvB02（n１、２、３……），轨迹如图１３所示．方案三：在ｘｏｙ平面加垂直纸面向外的磁场Ｂ，电荷做半径为R的匀速圆周运动经过p点，轨迹如图１４所示．由图知：2，而abtan，),(baPxyo0v图１１图１２),(baPxyo0vBMR图１３),(baPxyo0vBE2222tan1tan2tanbaab，而Rabtan，因此abaR222．由RvmBqv200，磁感应强度为)(2220baqamvB．方案四：在ｘ轴上Ｃ点固定一带电量为Ｑ的负点电荷，使电荷),(qm绕Ｃ从Ｏ在库仑力作用下到P做匀速圆周运动．其轨道半径为R，轨迹如图１５所示．同方案三可得abaR222，由库仑力提供向心力有RvmRQqk202，可解得akqmvbaQ2)(2022．点评：这是一道开放性试题，能很好的考查学生应用所学识解决物理问题的能力．学生需根据带电粒子在电场与磁场中的运动特征，从而在不同情景下多角度实现粒子过定点．【针对训练】1．（2006年·天津理综）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图16所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B’，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B’多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？2．（2004年·全国理综Ⅳ）空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为＋q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图17所示中P点箭头所示．该粒子运动到图中Q点时速度方向与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示．已知P、Q间的距离为l．若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点．不计重力．求：（1）电场强度的大小．（2）两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差．3．如图18所示，在空间存在这样一个磁场区域，以MN为界，上部分的匀强磁场的磁感应强度为B1，下部分匀强磁场的磁感应强度为B2，且B1=2B2=2B0，图１4R),(baPxyo0vB图１5R),(baPxyo0vC图16PQ图17方向均垂直纸面向内，且磁场区域足够大，在距离界线为h的P点有一带负电荷的离子处于静止状态，某时刻该离子分离成为带电荷的粒子A和不带电的粒子B，粒子A质量为m，带电荷q，以平行于MN的速度向右运动，经