常微分方程—二阶线性,常系数.

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第8章常微分方程高等数学A8.3几种高阶微分方程的解法8.3.2二阶线性微分方程的解法8.3.3二阶常系数齐次线性微分方程8.3几种高阶微分方程的解法非齐次方程求线性无关的解——常数变易法齐次方程求线性无关的解——降阶法8.3.2二阶线性微分方程的解法习例1-28.3.3二阶常系数齐次线性微分方程建立模型常系数方程的定义和解法模型求解与分析习例3-6n阶常系数方程的通解习例7-9二阶线性方程与二阶常系数齐次线性方程的解法降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法的一个非零特解，是齐次方程设)1(0)()(1yxQyxPyy12)(yxuy令代入(1)式,得,0))()(())(2(111111uyxQyxPyuyxPyuy,uv令则有,0))(2(111vyxPyvy,0))(2(111uyxPyuy即解得,1)(21dxxPeyvdxeyudxxP)(211,1)(2112dxeyyydxxP刘维尔公式齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP0))(2(111vyxPyvy降阶法的一阶方程v2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为2211yCyCy(3)设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy设0)()(2211yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy(4))2()()()(xfyxQyxPy非齐次方程得代入方程将),2(,,yyy)())()()(())()()(()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc)()()(2211xfyxcyxc(5)(4),(5)联立方程组)()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc,0)(2121yyyyxw系数行列式,)()()(21xwxfyxc,)()()(12xwxfyxc积分可得,)()()(211dxxwxfyCxc,)()()(122dxxwxfyCxc非齐次方程通解为.)()()()(12212211dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解求方程xyxyxxy例142)()2(xyyxxyx求方程例2的通解．.1111的通解求方程xyxyxxy解,01111xxx对应齐方一特解为,1xey由刘维尔公式dxeeeydxxxxx1221,x对应齐方通解为.21xeCxCY例1,)()(21xexcxxcy设原方程的通解为应满足方程组，)()(21xcxc1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx，11)(Cxxc原方程的通解为.1221xxeCxCyx解上述可降阶微分方程,可得通解:例242)()2(xyyxxyx求方程的通解.解:对应齐次方程为0)()2(2yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy令,)(xuxy代入非齐次方程后化简得xuu)(e22121xxCCux故原方程通解为)(e232121xxxCxCuxyx补充内容可观察出一个特解0)()(yxQyxPy,0)()()1(xxQxP若;xy特解,0)()(1)2(xQxP若;xey特解,0)()(1)3(xQxP若.xey特解模型.xxO解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建00ddvtxt,00xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为由8.3.2的模型可知,位移满足常系数线性微分方程定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程形如)1(0yqypy)(常数。实为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，qp、其中得的解，则代入方程后，假设方程有形如xey02，xxxeqepe即02。qp特征方程二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp)121，则实根特征方程有两个不同的xxeyey2121，是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为21212211。xxeCeCyCyCy二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp)221，则实重根特征方程有)1(11的一个解。是方程此时，xey042，qp由求根公式22422,1，pqpp由刘维尔公式求另一个解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021pd11。xxexxe于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为)(2121111。xCCeexCeCyxxx二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp3)特征方程有一对共轭复根：ii21，则，)i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为)i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。欧拉公式：sinicosi。e)sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx)sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx由线性方程解的性质：cos)(21211，xeyyyxsin)(i21212xeyyyx均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：0]sincos[。，xexeWxx故当特征方程有一对共轭复根ii21，时，原方程的通解可表示为)sincos(21。xCxCeyx二阶常系数齐线性微分方程0yqypy特征方程02。qp特征根通解形式)(21实根xxeCeCy2121)(21实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根)sincos(21xCxCeyx方程:22ddtx02xk特征方程:,022krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC故所求特解:tkkvtkxxsincos00A0xkv0方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)kvC020022020tan,vxkkvxA22ddtx02xktxndd2解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率0dd00vtxt,000xxt下图中假设(仅由系统特性确定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼:nk这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:nk临界阻尼:n=k22ddtx02xktxndd2解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtn运动周期:振幅:tnAe衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.大阻尼解的特征:(nk)1)无振荡现象;222,1knnr其中22knn0.0)(limtxt此图参数:1,5.1kn5.10x073.50v2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,)()1tx最多只与t轴交于一点;:,21取何值都有无论CC即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;此图参数:2n1.00x10v0xOxy.044的通解求方程yyy.052的通解求方程yyy230.yyy求方程的通解例4例3例5例6求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts.044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例3.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例4例5032yyy求方程的通解.解特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例6求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22Cn阶常系数齐次线性微分方程形如)1(01)1(1)(ypypypynnnn)(常数。实为的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，,,1npp其中n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为单实根xCe1项实重根k)(121kkxxCxCCek项一对共轭复根)sincos(221xCxCex项0111nnnnpppi2,1重复根一对共轭ki2,12项kcos)[(121xxCxCCekkx]sin)(121xxDxDDkk特征根通解中的对应项0dd3dd3dd2233的通解。求方程yxyxyxy例8求下列方程的通解：032065144.)(;)()()(yyyyyy例7例9已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的４个线性无关的特解为求这个微分方程及其通解.0dd3dd3dd2233的通解。求方程yxyxyxy013323，特征方程1321，特征根)(2321。所求通解为xCxCCeyx例7解例8求下列方程的通解：032065144.)(;)()()(yyyyyy,065)1(234rrr特征方程为0162,))((rrr即解.1,6,04321rrrr得特征值为故原方程的通解为.46321xxececxccy012224,)(rr特征方程为012,)(r即得特征值为.,4321irrirr4321xxcxxcxcxcysincossincos故原方程的通解为.sin)(cos)(4231xxccxxccy例9已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的４个线性无关的特解为求这个微分方程及其通解.解依题意有特征方程22(1)(4)0,rr43225840,rrrr即故所求微分方程为(4)25840.yyyyy且其通解为1234()cos2sin2.xyCCxeCxCx