常微分方程练习题

模拟试题1一、填空题:(每小题2分,共8分)1.方程的通解是①;2.是全微分方程(恰当方程)的充要条件②;3.方程的通解是③;4.方程的特解可设为④.参考答案o1.2.o3.4.二、是非判断题:(每小题2分,共12分)1.如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解;2.方程(是实数)的通解是;3.如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中）的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4.方程(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5.如果、均为方程组的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得成立;()()0dypxyQxdx(,)(,)0MxydxNxydy432432250dydydydtdtdt''2'xyyyxe()()[()]PxdxPxdxyeQxedxCMNyx1234cos2sin2ttyCCtCetCet2()xyxAxBe()()Xtit()()dXAtXbtdt()t()t()bt()At()Xt()()dXAtXbtdt2220dyaydxa12cos()sin()yCxCx()dXfXdt()0fXdtdV''()'()()yaxybxycx()t()t()dXAtXdt()()ttC6.方程=2满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0.参考答案o1.×,2.×,3.√,4.√,5.√,6.×.三、(24分)求解下列各方程:1．=;2.=;3.;4..参考答案o1.=通解为或者写成;o2.======,即,通解为;o3.,设,则==,所以,即得通解;dxdyydxdyyxxyy321dxdy331yxxyxydyyedxx220dydyxyxdxdxdxdyyxxyy321221(1)ydydxyxx22222()()1(1)dydxyxx2221log(1)logxxyC221211xyCx2221(1)(1)yxCx2222xyxyCdxdy331yxxydxdy33xyxy3dxxdy23xyy2()dxdy2322xyy2232[2]ydyydyxeyedyC223[2]yyeyedyC222[(1)]yyeyeC222(1)yxyCexydyyedxxxyu''uyxy()uyyxexuxeueduxdx22uxeC22xyxeCo4.x()2-2y()+x=0,设,则,两边关于求导得或.由得,所以通解是,由得奇解.四、(20分)求下列各方程的通解:1.;2..参考答案o1.的通解是,设原方程的特解是,将代入原方程得,所以有,所以原方程的通解是;注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分.o2.设则原方程化为,(其中),即,此方程通解是,所以原方程的通解是.五、(14分)解方程组:dxdydxdydxdyp1()22pyxpx2111()'2222ppxppp210p'xpp'xpppCx2122CyxC1ppx'''28sin2xxxt2''4'60txtxx'''20xxx212ttxCeCesincosxAtBtsincosxAtBt(62)sin(26)8sin2ABtABt628260ABAB6525AB21262sincos55ttxCeCett2'''28itxxxe2''4'60txtxxtes(1)460DDxDxxdDds2560DxDxx2312ssxCeCe2312xCtCt参考答案o由=0得,所以，特征值是.对于，设(6分)代入方程组可得记,,则.对于,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是,或者写成.六、(12分)已知微分方程,其中g(x)=zxdtdzyxdtdyzydtdx11110101AE2(1)012,30,12,31()()()tttxAtBeyCtDezEtFeACEABDFCACCDBDEAEEFBF0ABCEBDF1BCEC2DC1121210,,,,,ABCCCDCECFCC10111131231213()()tttxCeCyCtCeCzCtCCeC12310111111ttxyCteCeCzt'()yygx.1,010,2时当时，当xx试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间内满足上述方程.参考答案o1.当时,,所以,.由得;当时,,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.所以,所求函数是.七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:1．2．参考答案o1.一次近似方程是,特征方程,,.因为,特征根的实部都,所以原方程组的零解是渐近稳定的.o2.构造Lyapunov函数(定正),则定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的.(0,1),(1,)(0,1)x'2yy12xyCe(0)0y12C(1,)x'0yy2xyCe222Ce22,12(1),1xxexyeexyyedtdyyxdtdxxcos32sin8253yxdtdyxydtdx'28'3xxyyxy28013AE2201,2172i022(,)Vxyxy35462'2'2()2()2()dVxxyyxyxyxyxydx模拟试题2一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）1．方程是阶是(非)线性方程.2．若方程（连续）是全微分方程，则满足关系.3．李普希兹条件是保证初值问题解唯一性的条件.4．对于一阶方程（p(x),q(x)∈C(a,b)）,则其任一解的存在区间是.5．对于欧拉方程，只需作变换，即可将其化为常系数线性方程.6．对于二阶方程，其由解所构成的Wronski行列式必为.7．对于常系数线性齐次方程组，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当∞时.8．单摆运动方程可化为一阶方程组.参考答案1.三，非2．3．充分，4．(a,b)，5．，o6．常数，7.趋于零，8..二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）1．2．0)(24yxyy(,)(,)0MxydxNxydy(,)(,)MxyNxy，(,)(,)MxyNxy，00(,)()dyfxydxyxy)()(xqyxpdxdy0222ydxdyxdxydx0)(xtax)(),(21txtxAt0sinlgmMNyxtexymxlgdtdyydtdxsinyxedxdy22yxydxdy3．4.5.6.7.参考答案o1.(6分)o2.，解为o3.积分因子为，解为(6分)；o4.设(1分)，令，解为(6分)；o5.（I）当，;（II）当,不防设a0,则方程的两个基本解为，易求得一个特解所以此时方程的解为o6.x″+x=0的通解是(2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入原方程得，02)(2xydydxyx2)(22xdxdyxdxdyy12txaxtxxsin0)(2xxx0Ceeyxyxyyyxdydx222yCyyyx2ln221xCxyx2lndxdypdxdyp2224121xyCCxxy及0a21232161CtCttx0aateate),1(120tax)1(1221taeCeCxatat12cossinxCtCt(cossin)xtAtBt(cossin)xtAtBt2sin2cossinAtBtt所以有,所以原方程的通解是注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分o7.,设，则（2分）.所以，原方程化为由得，因此得（6分）三．（本题11分）1．何谓是线性齐次方程组的基解矩阵？2．试求系数矩阵A=上述方程组的基解矩阵.参考答案o1.称是的基解矩阵，如果满足（a）(b).（4分）o2.令，可求得（7分）对于由可取,2120AB120AB121cossincos2xCtCttt''itxxe2()0xxxxpdpdpdxdpxpdtdxdtdx2000dpdpxpppxpdxdx或0dpxpdxCpx2112dxCxdxCdtxCtCdtx)(tA244354332)(tA)(t)()(tAt0)(dett0244354332)(AEf2,2,132111,000344344333321xxx0111X对于，由可取对于，由可取因此基解矩阵为.（11分）四．讨论题：（本题12分）研究方程1．当n=1,方程是什么类型的方程？并求解之。2．当n=2,方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。参考答案o1.当n=1时，方程为线性非齐次方程，其解为（3分）o2.当n=2时，方程为Riccati方程，通过观察，易知为其一特解（6分），令（8分），代入原方程后可化简为此为伯努里方程，再令，则又可化为可求其解为，22,000444334334321xxx1102X23,000044374330321xxx1113Xttttttteeeeeeet2222200)(22xydxdynCdxexeyxx22x1uxy1,22xuudxduuv1,21xvdxdv32xxcv因此原方程的解为.五．证明题：（本题10分）设是方程的基本解组，则线性非齐次方程满足初始条件的解可表为（其中w为解所成的Wronski行列式），试证明之.参考答案o证明：设为方程（1）的两个线性无关解.令，则（1）化为，其中（3分）则据常数变易公式，满足初始条件的解为,（6分）其中代入可算得.22331xcxxy)(),(21txtx0)()(21xtaxtax)()()(21tfxtaxtax0)()(00ttttdssfwsxtxsxtxt0)())()()()(()(1221)(),(21txtx)(),(21txtx0)()(21xtaxtax',21xxxxAXX')(0)(,)()(1012tftFtataA0)(0tt