常微分方程齐次一阶线性

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第8章常微分方程高等数学A8.2一阶微分方程8.2.2齐次方程8.2.3一阶线性微分方程8.2一阶微分方程8.2.1可分离变量的方程（复习上次课的相关内容）8.2.2齐次方程齐次方程模型1基本形式和求解方法习例1-6可化为齐次方程的方程基本形式和解法习例7-98.2.3一阶线性微分方程模型2基本形式一阶齐次线性方程的解法一阶非齐次线性方程的解法习例10-13应用思考题一阶微分方程x由光的反射定律:可得OMA=OAM=模型1探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角TMAPy能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性yO经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.于是方程化为xycotxyy22yxOM从而AO=OMOPAP而AO于是得微分方程:xyy22yx,yxv令21ddvyvyyvyvyxdddd(齐次方程)Cyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy得)2(22CxCy(抛物线)221)(vvCy故反射镜面为旋转抛物面.一、齐次方程的定义和解法)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1.定义,0)(时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uuf使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解.0cos)cos(dyxyxdxxyyx例1求解微分方程例2解微分方程.2222xyydyyxyxdx例3求解微分方程tandd的通解。求方程xyxyxy02)d2(3434的通解。求方程dyxyxxyx-y)(,0)1(2)d21(dyyxexeyxyx求方程例４例５例６10的特解。满足xy例1求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)((C为任意常数)说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在求解过程中丢失了.2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,xyu令,udxxdudy则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx例3求解微分方程解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy,]1122)121(21[xdxduuuuutandd的通解。求方程xyxyxydddd，，则令xuxuxyxyu于是，原方程化为dtand，xxuu两边积分，得dtand，xxuu||ln||ln|sin|ln，Cxu即sin，Cxusin。故原方程的通解为Cxxyxxxxsincoscottan1例4解：例５02)d2(3434的通解。求方程dyxyxxyx-y)(原方程可化为224334，xxyyxydxdy4得右端分子分母同除以x12234，)/()/()/(xyxyxydxdy,xuyxyu，则令,udxduxdxdy代入原方程得12234，uuuudxdux解：-1221223434，uuuudxduxuuuudxdux2134uuudxduxxdxduuuu4321duuuu4321duuuuu43331duuuu)(13132,214333duuuuuu,3143duuuuu)(,ln)1ln(ln3Cuu,lnx即.13uCux.33Cxyyxxyu代入并整理得将/所以通解为13,ln)ln(lnlnCuux例6,0)1(2)d21(dyyxexeyxyx求方程原方程可化为2121，yxyxeeyxdydx//)/(10的特解。满足xy,yuxyxu，则令,udyduydydx代入上述方程得解2121，yxyxeeyxdydx//)/(2121，uueeuudyduy)(,udyduydydx即212，uueeudyduy)(分离变量并积分得221ydydueueuu22ydyeueuduu)(2Cyeuulnln)ln(2yCeuuyCeyxyxyxu//2./Cyexyx2二、可化为齐次的方程的微分方程形如)(111cybxacbyaxfdxdy,01时当cc，令kYyhXx,（其中h和k是待定的常数）dYdydXdx,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY2.解法定义xyxybaxybafybxaybxafxy22112211dd,0,0111ckbhacbkah,0)1(11baba有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY得通解代回，kyYhxX,,0)2(未必有解,上述方法不能用.,01时当b.1中必至少有一个为零与ba,11bbaa令),)((1cbyaxcbyaxfdxdy方程可化为,byaxz令，则dxdybadxdz).()(11czczfadxdzb,0b若可分离变量的微分方程.,0,01ab若),(1adxdzbdxdy)()(11cczfadxdzb可分离变量的微分方程.,01时当b,byaxz令可分离变量.1.3dyxydxxy例7求的通解的通解。求方程214d)(yxdxy2222(237)d(328)d0xyxxxyyy求的通解。例８例９1.3dyxydxxy例7求的通解解,021111,0301khkh方程组,2,1kh.2,1YyXx令,YXYXdXdY代入原方程得，令XYu,11uudXduXu分离变量法得,)12(22cuuX,222CXXYY即代回，将2,1yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy.622122Cyxyxyx或方程变为例８的通解。求方程214d)(yxdxy,,yuyxu414则令,4uy,24uu原方程可化为.24udxdu即解分离变量并积分得42dxudu2211Cxuarctan)2C(C,)221Cxutan(故原方程通解为而,14yxu.)2214Cxyxtan(0d)823(d)732(2222的通解。求yyyxxxyxd2dd2d22，，，则，令yyvxxuyvxu于是，原方程变为732823dd，vuvuvu联立方程组0823kh0732kh解之，得12。，kh12，则有，令vXuY3223dd，XYXYXY可化为齐次方程的齐次方程例９解ddd，于是得到，则令XZZXYXYZd2d1322，XXZZZ两边积分，得||ln||ln2|1|ln21|1|ln25，CXZZ即1)1(25。CZXZ的通解为，代入上式，得原方程由121222yxvuXYZ3)1(22522。Cyxyx在闭合回路中,所有支路上的电压降为0模型2.有一电路如图所示,电阻R和电∼LERQ解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为tiLdd由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,如何解方程？LtEiLRtimsindd00ti∼LERQ因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件:00ti)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当三、一阶线性微分方程例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的..0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程一阶线性齐次微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论,)()(dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC一阶线性非齐次微分方程的解法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数新未知函数作变换dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代入原方程得和将yy,)()()(CdxexQxudxxP),()()(xQexudxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始条件:00ti得C利用一阶线性方程解的公式可得∼LERQtLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为解的意义:∼LERQ.sin1的通解求方程xxyxy例10222的通解。求方程dyyydxxdy例13用适当的变量代换解下列微分方程:211.;sin()dyydxxxyx12.;dydxxy例11例12一阶线性微分方程的习例.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例10例11.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu