换元法在数学竞赛中的若干运用(李鑫)

换元法在数学竞赛中的若干运用摘要：在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。这里我仅结合数学竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1.换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitutionmethod;substitution;changingyuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤①构造新元②解答③求出原解转化代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.1．1自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。“自身换元法”就是指把要求解的式子整体用另一个字母或者表达式替换后，通过对新的变元进行计算后得出具体结果.例1、计算)60596058602601(54535251434241323121）（）（）（（1989年上海市数学竞赛题）分析：首先我们观察本题是计算一串很长的分数之和，在每一个括号中的分数的分母都是相同的。假设分母为)602(mm,则每个括号中相加的分数为（1m）个。根据题目的特点，用原始的计算方法（先将每个括号里的分数相加，再加总求和）是相当繁杂的一项工程，并且在数学竞赛考试时间有限的情况下，是不宜采用的，那么对于这样的式子，我们如果采用“自身换元法”，会有怎样的效果呢？解：设原式T，将原式各项反序排列后有T)60160260586059()51525354(414243313221）（）（将等式两边乘以2，得到1170260592591595958321T2）（所以585T，故原式585评析：解决此题的关键就是利用“自身换元”。将一串很长的式子用一个简单的变元T来表示，然后等式两边同时乘以2，这样就将一串繁杂的分数相加化为了比较简单的整数相加，问题迎刃而解。例2、设.521ii，，，，Ra求：432151543254321753753753aaaaaaaaaaaaaa的最小值。（2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题）分析：从开始看题的第一眼，我们就会产生一种厌烦的心理，本题所需要计算的不仅是一串分式之和，并且每一个分式都是由字母组成，如果不采用特殊的计算方法，是不可能将结果求解出来的。本例与例1有相似之处，都是分式相加求和，所以考虑运用“自身换元法”.解：设原式为A.由柯西不等式，有)]753()753()753([A432151543254321aaaaaaaaaaaaaaa254321)(aaaaa于是，有.851512jijiiaaaA0)(512jijiaa，所以，5125125)(jijiiaaa.从而，165A.当54321aaaaa时，式①、②中的符号都成立，即有165A.综上所述，所求的最小值为165.评析：解决此题的关键也是利用“自身换元法”.2.1.2局部换元法换元法从结构上可分为整体换元和局部换元，局部换元是数学竞赛中运用最多，最常见的一种方法。例2、cb，，a为正实数，求证：1888a222abccacbbbca(启动中学竞赛试题)证明：令abcczcabbybcaa888x222，，.则Rzy，，x，且，bcaax8222所以22811abcx.同理22811bacy，22811cabz，因此5128)11)(11)(11(3222zyx.………………①假设1zyx，则)1,0(zyx，，.故22222211x-1zzyyx222222222222222)()()(zzzyxyyzyxxxzyx=222)2)()(2)()(2)(z(zyxzyxzxzyxzxzyxy222424242424242zyxxyzxyzxyxzyzxyz=512与①矛盾.所以1888a222abbcacbbbca.评析：本题是数学竞赛中不等式的证明，虽然不等式的证明可以有很多种方法，但就此题来看，利用“局部换元”这种特殊的方法，把bcaa82，acbb82abcc82，以新元zx，，y表示旧元cba，，，消去根号，起到了化繁为简，化难为易的效果，然后再运用不等式的性质便可得到证明.例3、解方程组）（）（224541144)53)(1(2yxxyxxx分析：观察方程的左边可以发现，方程⑴中有式子xx2与yx53，而方程⑵中也有yxxx532与，所以可以利用换元法来进行化简求解.解：由2454144)53)(1(2yxxyxxx有24)53()(144)53(22yxxxyxxx）（所以将)53(2yxxx），（看作是关于t的方程0144242tt的两个根，所以1221tt.即1253122yxxx.解之得524411yx，53322yx.评析：本题紧紧抓住已知方程组的条件，利用方程组的特点，通过换元便可突破.2..1.3整体换元法将题目中具有共同特点的部分用字母来表示后，使得计算简化.这种方法叫做整体换元法.例4、计算）（）（）（）（2003131212004131211-2003131211200413121（2004年广西省初中数学竞赛试题）分析：观察本题可发现，每个括号中均有相同的部分，若将共同的部分用一个字母来表示，那么就将繁杂的数据简化，又使得本题的结构特征更加简洁明了，容易发现其中的一些规律和解题技巧.解：根据观察分析，题中每个括号中的共同部分为2003131211，则令a2003131211，那么就有原式)1)(20041()200411aaaa（200412004200422aaaaaa20041.评析：本题从题目的结构看非常繁杂，而且每个括号的数字比较大，直接去计算是几乎不可能的，我们利用“整体换元法”将括号中的共同部分进行转化，便可迎刃而解.2.2从数值类型上划分2.2.1常值换元法所谓常值换元法，就是将题目中的常数用字母来表示，从而达到化简的目的，下面我将举几个例子来说明它的运用。例5、计算22006-12008200720062005的结果（第17届“希望杯”）解：令2006t,则原式21)2)(1)(1(ttttt2221)2(ttttt）（222)1(ttt221ttt20051t评析：本题首先用t来表示2006，然后由2006与200820072005、、之间的关系，将它们分别表示为)2()1()1(ttt、、，这样就使得看上去很大的数字转化成了一个简单的字母.2.2.2均值换元法利用“均值换元法”可以快速的证明关于元素之和为定值的一类问题，同样，运用“均值换元法”去解证一些数学竞赛试题，也能够使得解题巧妙简捷，迅速得到正确结果。均值换元是指当题中出现或者稍加变形后成为pnm的形式时，可设tp2m,tpn2来进行求解的一种方法，可达到减元的目的。例4、已知Rcba、、且1cba，求证31222cba分析：抓住取等号时cba、、的值相等，利用“均值换元法”进行换元求解.在本题中设32131c3131ttbta，，，回代便可化简.解：设32131c3131ttbta，，，由1cba，可得0321ttt，所以有222cba232221)31()31()31(ttt2322213213231tttttt）（23222131ttt31评析：应该说本题的证明方法是相当多的，我们可以用均值不等式，构造法，还有双换元法等等，但是如果我们熟练掌握了“均值换元法”，这也不失为一种快速简便的证明方法.2.2.3比值换元法当竞赛题中含有连比（等比）的式子时，可将连比式（连等式）设为t，使得题中各元能分离出来直接参与运算.这种方法称之为比值换元法.例5、设nnbabababa332211（所有字母均为正数）.求证：nnbababa2211))((2121nnbbbaaa（1986年中学生数理化接力赛）证明：设nnbabababa332211t（换元），则有11tba，22tba，，nntba.等式左边就可以转化为左边22221ntbtbtb)(21nbbbt)(21nbbbt=))((2121nnbbbbbbt))((2121nnbbbtbtbtb))((2121nnbbbaaa评析：若已知条件的式子中有连比的式子，可用比值换元法。2.2.4参数换元法例6、设正实数x，y满足yxyx33，求证：1422yx（第四届中国女子数学奥林匹克试题）分析：在阅读了《国内高中数学竞赛真题库》及其解法（使用均值不等式）后使我授予匪浅，但是我认为本题如果运用“参数换元法”来求解将会更加通俗易懂，简捷明了.证明：设)0(ttyx，即ytx.将此式代人题中的已知条件得ytyt)1()1(32.由y为正实数，所以)1(1132ttty.于是14411)4(43233222tttttttyx.则1441432322ttttyx.即0542tt.当1t时，上式显然成立.证毕.评析：数学竞赛试题往往可以有多种解法，我们在考试时，最好选择我们所熟悉并且通俗易懂的方法.就如此题即可用“均值不等式”的方法证得，但如果我们熟练掌握了换元法，将会使我们的解题过程显得更加的明了，化简过程也变得更加简捷.2.3换元法从功能上划分换元法从功能上可以划分为化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式等类型2.3.1化高次为低次例7、解方程43)1)(12)(13)(14xxxxx（分析：这是一个高次方程，如果将方程左边全部展开，一方面的工作量大，一方面即使展开也很难解出来，所以只能部分展开.由154)1(142xxxx）（与156)12)(13(2xxxx有相同的的一次项和常数项,所以原方程可以化为：4223)156(15