换元法在解方程中的应用

1换元法在解方程中的应用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。一、单个换元：主要是根据方程的特点进行换元，换元后一般只留下单个未知数。例1.解方程12121524222xxxxxx。分析：方程的分母都含有xx22故可设yxx22，然后整理可得34402yy，解得yyyxx1222322，，代入中，求出方程的解，并检验。例2.解方程xxxxxxx222211221196。分析：方程变形为xxxxxxxx2222211111196()()，即xxxxxx22221111136，方程可通过互为倒数关系换元：设yxxx2211，然后整理得613602yy，可解得yy122332，，代入yxxx2211，求方程的解，并检验。二、部分换元：部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数例3.解方程2211022xxxxx分析：方程变形：31210222xxxxxx()，方程可进行部分换元：设yxx21，方程整理可得32022xxyy，可解得yxyx3，，再代入yxx21，求出方程的解并检验。2例4.解方程111812811380222xxxxxx。分析：设yxx228方程整理可得yxyx224450，解得yxyx59，再代入yxx228中，求出方程的解并检验。三、系数对称方程换元例5.解方程：6538560432xxxx分析：方程665543xxx和，和的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元：变形：653856022xxxx，61515002()()xxxx，设xxy1，得655002yy，可解出方程。四、高次方程的平均值换元法例6.解方程()()()()xxxx214719。分析：变形()()xxxx2251454190，设yxxxxxx222514542550，()()yyyy99190100102±，把yyxx±代入10552中，可解出方程。例7.解方程()()()6734162xxx。分析：方程变形()()()676866722xxx设yxxxx()()()()67676866467xyyyyyy24211727203()()±。把yyx±代入367中，可求解。例8.解方程()()xx318244。3分析：设yxxx3122，方程变为()()yyyyy118264001044422（舍去）或y24将yyx242代入中，可求解。五、多元换元例9.解方程()()()()()xxxxxxxxxx22222222323221321451。分析：观察发现：xxxxxx22232321451。设xxuxxv2232321，，uuvvuvuvu22200()·，vxx03202或32102113121234xxxxxx，，，。六、数字换元例10.解方程xxx32233310。分析：这是三次方程，且系数中含有无理数，不易求解，若反过来看把x看作已知数，把3设为t，则方程就变为关于t的一元二次方程。解：令3t，原方程变为xtxtx2232110()，解得txtxxx112或。则31312xxxx，。∴x113，x234121312,()±。