探讨求数列通项公式的方法

探讨求数列通项公式的方法赵明范雪莲（云南大学数学与统计学院云南昆明650091）摘要：数列是高中数学的重点，而求数列通项公式又是数列中的难点。文章归纳了高中数学中求数列通项公式的方法和技巧。关键词：数列通项公式；待定系数法；叠加法数列是高中数学教学的重点，而求数列通项公式又是数学问题中的难点．求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一，由于求数列通项公式时会渗透多种方法和技巧．而且数列问题背景新颖、综合性强、能力要求高及思维方法灵活等，使很多学生难以解答．本文笔者总结了求数列公式的方法，供大家参考．一、待定系数法．形如)1(1pqpaann设为)(1nnapa，展开对比已知递推公式，可求得的值．从而借助数列}{na是等比数列得到通项公式．例1、已知数列}{na中，21a，341nnaa，求数列}{na通项公式．解：因为341nnaa，所以)1(411nnaa即：4111nnaa，且311a，所以数列}1{na是以3为首项，4为公比的等比数列．所以1431nna，即：1431nna．备注说明：解答过程中设)(41nnaa，由341nnaa代入)(41nnaa得443411nnaa，所以1．二、构造新数列对于一些递推关系复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造新的数列转化成上文中的待定系数法．（1）形如nnnqpaa1（qp,为常数）．两边同除以nq，得111nnnnqaqpqa．即转化为上文中的待定系数法，把qpaann1中的na换成nnqa即可．例2、设数列}{na中，11a，nnnaa231，求}{na的通项公式．解：由nnnaa231两边同除12n，得123211nnnnaa，由待定系数法得)212(321211nnnnaa，即321221211nnnnaa，且12121a所以数列}212{nna是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13212nnna，即11262nnna．（2）形如rnndaa1（dr,为常数）．两边取对数得darannlglglg1即转化待定系数法．例3、已知数列}{na中，31a且21nnaa，求数列}{na的通项公式．解：因为31a且21nnaa，得0na，所以nnaalg2lg1．所以数列}{lgna是以3lglg1a为首项，2为公比的等比数列．所以1213lg3lg2lgnnna．故123nna（3）形如dkapaannn1（dkp,,为常数）．两边取倒数，得pkapdann111，转化为上文中的待定系数法，把qpaann1中的na换成na1即可．例4、已知数列}{na中，11a，121nnnaaa，求数列}{na的通项公式．解：将121nnnaaa取倒数，得nnaa1211，因为2111nnaa，所以数列}1{na是以111a为首项，公差为2的等差数列，即)1(211nan，所以121nan．（4）形如qapmaannn1（qpm,,为常数）．令qxpmxx，解出此一元二次方程的两根为：21,xx．此时qxpmqqaxaxannn1111①同样地：qxpmqqaxaxannn2221②由①/②有：21122111xaxaqxqxxaxannnn，即112211121)(nnnqxqxxaxaxaxa，此外①或②求倒数之后，即转化为上文的待定系数法．例5、已知数列}{na中，21a，72451nnnaaa，求数列}{na的通项公式．解：令7245ttt得1t或2t，于是72)1(31724511nnnnnaaaaa，求倒数得3213111nnaa，令11nnab，此时：)31(3311nnbb，又34311b，得1334nnb，所以13423411nnna．（5）形如nnnabaaa12（ba,为常数）．令baxx)(解出该方程的两根为,，设nnnqpa，再利用21,aa求出qp,的值．例6、已知数列}{na中，5,121aa且aaann6512，求数列}{na的通项公式．解：由方程6)5(xx得两根为3,221xx．nnnqpa32由,11a52a知：132qp①，594qp②由①②得1,1qp，所以nnna23．三、叠加法形如)(1nfaann的类型，即有：)1(1nfaann)2(21nfaann，…)1(12faa，将这n-1个等式相加)1()2()1(1fnfnfaan，即1)1()2()1(afnfnfan例7、已知数列}{na中，,21a11naann，求数列}{na的通项公式．解：因为11naann，所以11naann，即有：,1naann2,,11221aanaann，将这n-1个等式相加得23)1(1nnaan，由21a得2)2)(1(2nnan，即222nnan．例8、已知数列}{na中，,21a)11ln(1naann，求数列}{na通项公式．解：因为)11ln(1naann，所以)11ln(1naann，即有：,,21ln,1ln11nnaannaannnn2ln12aa，将这n-1个等式相加得1ln23ln2ln1nnaan，由21a得，1232ln2nnan，所以nanln2此外，求数列通项公式的方法还有：数学归纳法等，这里就不再陈述了．总而言之，求数列通项公式问题的关键在于题干所给表达式，根据该表达式的形式特点，灵活选取恰当的方法是解决这类问题诀窍．