奇异值分解在图像压缩中的应用

矩阵奇异值分解在图像压缩中的应用摘要：矩阵奇异值的分解一般在系统的辨识，系统的可控性，图像压缩中广泛的使用。本文主要介绍了矩阵中奇异值分解的方法，以及其在通信领域中的图像压缩传输中的应用。关键字：矩阵；奇异值分解；通信；图像压缩0引言矩阵不仅是各数学学科，而且也是许多理工学科的重要的数学工具。就起本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的领域。他们的创造性极大的推动和丰富了其他众多学科的发展，血多新的理论，方法和技术的诞生于发展就是矩阵理论的应用和推广。所以说矩阵理论在物理，力学，信号与信息处理，通信，电子，系统，控制，模式识别，土木，电机，航空和航天等众多学科中式最富有创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。1矩阵的奇异值分解在介绍矩阵的奇异值分解的时候，我们必须先得知道两个重要的的引理。(1)对于任何一个矩阵A都有rank(AAH)=rank(AHA)=rankA.(2)对于任何一个矩阵A都有AHA与AAH是半正定Hermite矩阵。在这里对于这两个引理就不做详细的证明了。在这里，于是就定义了,AHA的正特征值i，AAH的真特征值ui，称i=i=ui(i=1,2,……，r)是A的正奇异值，简称奇奇异值。现在介绍完一些相关的概念后，我们再来介绍一下矩阵的奇异值分解的定理及相关的证明，定理如下：若ACRM*N，12……r，是A的r个正奇异值，则存在m阶酋矩阵U和n阶酋矩阵V，满足A=UDVH=U000VH其中，=diag(1，……，r)，U满足UHAAHU是对角矩阵，V满足VHAHAV时对角矩阵。这里证明如下：AAH是Hermite矩阵，故存在m阶酋矩阵U，满足令U=（U1，U2）,其中U1是mr矩阵，U2是m(n-r)j矩阵，则比较上式两端可以知道U1HAAHU1=H(1)U1HAAHU2=0(2)U2HAAHU1=0(3)U2HAAHU2=0(4)令V1=AHU1-H,则V1HV1=-1U1HAAHU1-H=Er,所以V1是nr的次酋矩阵，V1Urn*r，于是存在V2使得V=（v1，v2）为n阶酋矩阵，所以这里U1HAV1=U1HAAHU1-H=H-H,又因0=V1HV2=-1U1HAV2，故U1HAV2=0，又（4）得U2HA=0，所以U2HAV1=0。最后的得到A=UDVH=U000VH。3图像压缩传输奇异值分解在图像处理中有着极其重要的应用。比如说在这里有一副图像有nn个像素，如果将这个n2个数据一起传输，那么往往会显得数据量太大，这样会导致网络的拥塞，那我们就必须想个方法来解决这个问题。那么我们可以用图像压缩来传输。这样不光是能够传输较少的数据，而且在接收端还能够利用这些传输的数据重构原图像。在这里我们不妨就设nn矩阵A表示要传输的原nn个像素。假定对矩阵A进行奇异值分解，便得到A=UDVH，其中，在这里我们把奇异值按大到小的顺序排列。如果从中选择k个大奇异值以及与这些奇异值对应的左和右奇异向量逼近原源图像，便可以一共使用k(2n+1)个数值代替原来的nn个图像数据。这k(2n+1)个被选中的新数据时矩阵A的前k个奇异值，nn左奇异值向量矩阵U的前k列和nn右奇异向量矩阵V的前k列的元素。比率=)12(knnn称为图像的压缩比。显然，被选中的大奇异值的个数k应该满足条件k(2n+1)n2,即为k1n2nn。因此，我们在传送图像的过程中，就无需去传送nn个原始的数据，而只需要传送k(2n+1)个有关奇异值和奇异值向量的数据即可。在接收端，在接受到奇异值1，2，……，k以及左奇异向量u1，u2，……，uk和右奇异向量v1，v2……，vk后，即可通过截尾的奇异值分解公式A=k1iiuiviT重构出原来的图像。并且我们通过上面还可以知道，若k的值偏小，既是压缩比偏大，则重构的图像的质量有可能不能令人满意。反之，过大的k值又会使得压缩比过小，降低图像压缩和传送的效率。所以，需要根据不同种类的图像，选择合适的压缩比，以兼顾图像传送的效率和重构质量。这里我们举一个实例如下：比如说有个图像的像素矩阵为A=126234121其AAT和ATA的特征向量矩阵为U=2973.06275.07195.06005.04629.06519.07422.06259.02392.0，V=8441.05355.00238.04665.07120.05248.02640.04541.08509.0，奇异值矩阵D=2882.00000950.20004576.8现在经过分解后，包含9个元素的矩阵A可以只用含有3个元素的矩阵D来表示。最后在接收端，由矩阵的重构公式可得A'=0708.19551.10020.68505.10948.39958.31714.18913.10048.1于是我们就得到了近似的原像素矩阵。从这里看出矩阵的奇异值分解大大降低了图像的数据量传输率。四总结矩阵理论的应用甚广，在这里矩阵的奇异值的分解除了图像压缩以外，还有很多方面的应用，例如静态系统的建模，阶数的确定等等。这些还都只是矩阵理论中的奇异值分解的应用，所以说矩阵理论涉及范围相当的广泛，所以说我们要学好这门学科，利用这些矩阵理论的知识解决实际的问题。本文中只是利用矩阵的奇异值的分解，对图像的传送做了数据量传送的减少，这样优化了整个传送系统。更有利于数据的传送。参考文献：1.张贤达.矩阵分析与应用.清华大学出版社.2.史昌荣，魏丰.矩阵分析.北京理工大学出版社.3.聂守平,魏晓燕.数字图像的奇异值分解.南京师大学报.