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摩擦角的应用第1页/共4页45ºm图4物体的平衡之巧妙方法——摩擦角的应用一、摩擦角的定义摩擦角指的是:物体在受到摩擦力情况下,物体的滑动摩擦力(或最大静摩擦力)fNFF,支持面的支持力NF的方向固定不变,我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F(以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力),则支持面的作用力F与支持力NF的方向成1tan角(如图1所示),而这个角就称之为摩擦角。解析:由摩擦公式:fNFF得tanfNFF,摩擦角-1=tan二、意义引入摩擦的意义:摩擦力与支持面的支持力是成对出现的,引入摩擦角后,可以将这对力合成一个力,在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中,引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题(如:三个力中有一个力确定,即大小、方向不变,另一个力方向确定,这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定),这里特别补充说明的是:在物体的三力平衡问题中,作用在物体这三个力合力为0,等效于三力共点,则三力的作用线汇交于一点,即三力汇交。三、方法的应用例1,如图2所示,用绳通过定滑轮物块,使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动,若物块与地面的摩擦因素1,滑轮的质量及摩擦不计,则物块运动过程中,以下判断正确的是()。A.绳子的拉力将保持不变B.绳子的拉力将不断增大C.地面对物块的摩擦力不断减小D.物块对地面的压力不断减小解析:如图3所示,取物体O点,作力的三角形。重力为有向线段①,从该线段箭头端点做地面作用力的作用所在射线②,作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段③,它们就是绳子拉力矢量,用曲箭头标明变化趋势。由1知力三角形中①和②的夹角小于45º,初始状态绳子拉力与水平呈45º,力三角形中③和①的夹角从45º开始慢慢减小,图3中θ90º,不难得出结论:绳子的拉力不断增大,地面的作用力不断减小,由图1易知,地面支持力与摩擦力均随之减小,所以BCD正确。例2,如图4所示,倾角45º的斜面上,放置一质量m的小物块,小物块与斜面的动摩擦因素33,欲使小物块能静止在斜面上,应对小物块再施加一力,该力最小时大小与方向是()。A.0sin15mg,与水平成15º斜向右B.0sin30mg,竖直向上C.0sin75mg,沿斜面向上D.0tan15mg,水平向右图1v45º图2①③②θO图3摩擦角的应用第2页/共4页解析:由33得,摩擦角1103tantan303,作出力的三角形,如图5所示,蓝色有向线段为重力,黑色射线为斜面对物块的作用力,红色有向线段为施加的力,青色有向线段为施加的力的最小位置(与斜面的作用力相垂直),则00sin(45)sin15Fmgmg方向与水平成15º斜向右。即A正确。例3,(2009.辽宁、宁夏理综)水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)。现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为,如图6,在从0逐渐增大到90°的过程中,木箱的速度保持不变,则()A.F先减小后增大B.F一直增大C.F的功率减小D.F的功率不变解析:方法一(传统方法):由于木箱的速度保持不变,因此木箱始终处于平衡状态,受力分析如图所示,则由平衡条件得:sinmgNF,cosfNF两式联立解得2cossin1sin()mgmgF,可见F有最小值,所以F先减小后增大,A正确;B错误;F的功率coscoscossin1tanmgvmgvPFv,可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan逐渐增大,则功率P逐渐减小,C正确,D错误。(此常规方法对数学要求比较高,如果是在高考时过于紧张,一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废)方法二(引入摩擦角):由(01)得,摩擦角φ45º,作出力的三角形,如图7所示,黑色射线为地面对木箱的作用力F1,红色有向线段为拉力F,蓝色有向线段为重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中,F的变化趋势为青色曲箭头方向变化,易得到:F先减小后增大。对于F的功率,由矢量表达式:1FFG,重力的功率显然为0(重力与速度成90º),得到F的功率与F1的功率互为相反数,F1的功率11cosPFv,显然F1与v的角度ψ保持不变,而F1不断的减小,从而F的功率|1||1cos|PPFv的值不断的减小,所以答案为AC。结论:对比两种方法,方法二显然要简单容易的多。因此高中有必要掌握摩擦角的应用,而不一定非得参加竞赛的学生才掌握。例4,(竞赛训练题)如图8所示,质量为m的物体放在水平地面上,物体与地面的动摩擦因素33,想用力F推动物体沿水平地面滑动,推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的?答案:0160sin2mgF解析:摩擦角10tan30,考虑临界情况,重力mg、地面对物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时,则有45ºm图515º30ºOFθ图6Fθ图8Fθ图9mgψFφ45º图7vψF1FG摩擦角的应用第3页/共4页00sin(60)sinmgF,临界角01060sin2mgF,由图9可知0时物体可在地面上滑动。即0160sin2mgF。四、拓展实践练习1.一物体质量为m,置于倾角为的斜面上,图10所示,物体与斜面间的动摩擦因数为,若要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值。练习2.(竞赛训练)结构均匀的梯子AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长为L,重为G,与地面间的动摩擦因数为μ,如图11所示,(1)求梯子不滑动,梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0;(2)当θ=θ0时,一重为P的人沿梯子缓慢向上,他上到什么位置,梯子开始滑动?练习3.(竞赛训练)一架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,同图11所示,梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2,求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。答案解析练习1,mgmgF2min1cossin)cos(解析:(引入摩擦角)如图12所示,摩擦角1tg,由平衡条件得,作力的矢量三角形,其中:蓝色有向线段为重力,黑色有向线段为斜面对物体的作用力,红色有向线段为拉力。显然:当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小,即:mgmgF2min1cossin)cos(练习2,解析:(1)(引入摩擦角)将梯子的重力G,根据三力汇交,作出力的三角形,如图13所示,其中N1为竖直墙面对楼梯的支持力,F为水平面对楼梯的作用力,摩擦角:1tan。由平衡条件可得:tansincos200LLL所以有:2tan10(2)如图14所示,将梯子和人的重力用其等效重力代替G,当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒,当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当人上到梯子一半即L/2时,梯子开始滑动。练习3,解析:系统达到临界平衡状态(极限平衡状态)时,即梯子与水平所成的夹角最小时,各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力分别用水平面对梯子的作用力F1以及竖直墙面对梯子的作用力F2表示,则梯子就只受三个力,由三力汇交,且三个力必共点。解:如图15所示,111tan,212tan,由平衡条件和几何关系可得:EBDEAHDHAHDEDHACBC222tan图11F图10αvGF图12αN1G’Fθ0图14N1GFθ0图13θGF11AHCDEBF22图15摩擦角的应用第4页/共4页121212121221cot21cot21即梯子与地面所成的最小的角为:1211min21tan
本文标题:摩擦角的应用
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