平行线分线段成比例定理作第四比例项

知识点回顾1、定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（这个定理其实就是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理）2、定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。这两个定理以及之前学过的平行线分线段成比例定理及其推论在应用时都要注意“对应”二字，所写出的比例式对应位置一定要是对应线段。例如：BC∥DE，不能将比例写成BCDEBDAD，因为这样比例式的左边和右边是不对应的。二、例题：例1、已知线段a、b、c，求作a、b、c的第四比例项。作法：（1）、任意作∠MON。（2）在边OM上顺次截取OA=a，AB=b，在边ON上截取OC=c。（3）连结AC，过点B作BD∥AC，交边ON于点D则线段CD为所求。例2、如图，F是□ABCD的边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E。求证：DCDFAEDE证明：∵□ABCD∴CD∥AB，AD∥BC∴EBEFAEDE（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）同理可得DCDFEBEF∴DCDFAEDE说明：本题是证明等积式的典型题。要证明dcba，经常要把它转化为两个等式：feba和dcfe。我们通常把fe叫做中间比。而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式。例3、如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点，BDCDBFAFECAE。连结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。分析：证明两条线段互相平分，最好的方法就是证明这两条线段是一个平行四边形的对角线。因此可以连结EF、DF，然后证四边形DCEF是平行四边形。ABCDEABCDOMNabcabcABCDEF证明：连结EF、DF∵BFAFECAE∴EF∥BC（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。）同理DF∥AC∴四边形DCEF是平行四边形∴DE和CF互相平分说明：证两直线平行，通常都是通过证角的关系来得到，现在我们又有了新的方法——证对应线段成比例。例4、如图，在△ABC中，E为中线AD上的一点，21AEDE。连结BE，延长BE交AC于点F。求证AF=CF。证明：作DH∥AC，交BF于点H∴BCBDCFDH（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）∵D是BC的中点∴BCBDCFDH=21∵21AEDE同理可得21AEDEAFDH∴CFDHAFDH∴AF=CF说明：在证线段成比例这一类问题中，平行线是常见的辅助线。例5、已知：如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连结AD，BC交于E，EF⊥BD于F。求证：EFCDAB111证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD∴AB∥EF∥CD∴BDBFCDEFBDDFABEF,（平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。）∴1BDBDBDBFDFBDBFBDDFCDEFABEF∴EFCDAB111说明：证明cba111通常是把它转化为证1bcac。三、训练题：1、将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE=AC，AE与DC相交于点F，则CE：FC=（）ABCDEFABCDEFHA、2+2B、2+1C、2－1D、2－22、如图所示，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，下列各式中不正确的是（）A、DEBCAEACADABB、BFFCECAEBDADC、AEACDABAFCBCD、AEDEFCBFDABD3、如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC、BD交于点O，过点O作EF∥AD交AB、CD于点E、F，则（）A、OE=OFB、OE≠OFC、OEOFD、OEOF4、如图，在□ABCD中，E在AD上，且4AE=5DE，CE交BD于F，则BF：DF=（）A、4：5B、9：4C、10：4D、5：95、如图，已知D为△ABC的边AC的中点，EF过D交AB及BC延长线于E、F。求证：CFBEBFAE6、如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE=AD，ED和AB相交于F。求证：BCACFDEF。7、如图，在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F。求证：ABACEFDF。ABCDEFABCDEFOABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF