实验3傅里叶变换及其性质

实验3傅里叶变换及其性质1.实验目的学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶（Fourier）变换；学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。2.实验原理及实例分析傅里叶变换的实现信号()ft的傅里叶变换定义为：()[()]()jtFFftftedt，傅里叶反变换定义为：11()[()]()2jtftFFfed。信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。MATLAB符号运算求解法MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier()和ifourier()。Fourier变换的语句格式分为三种。（1）F=fourier(f)：它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于的函数。（2）F=fourier(f,v)：它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的，即()()jvtFvftedt。（3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即()()jvuFvftedu。傅里叶反变换的语句格式也分为三种。（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为，默认返回是关于x的函数。（2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。（3）f=ifourier(F,u,v)：是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数f。值得注意的是，函数fourier()和ifourier()都是接受由sym函数所定义的符号变量或者符号表达式。例1用MATLAB符号运算求解法求单边指数信号2()()tfteut的傅里叶变换。解：MATLAB源程序为：ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');Fw=fourier(ft)运行结果为：Fw=1/(2+i*w)例2用MATLAB符号运算法求21()1F的傅里叶逆变换()ft解：MATLAB源程序为：ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');Fw=fourier(ft)运行结果为：ft=1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t)连续时间信号的频谱图信号()ft的傅里叶变换()F表达了信号在处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。()F一般是复函数，可以表示成()()()jFFe。()~F与()~曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用fourier()和ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。例3用MATLAB命令绘出例1中单边指数信号的幅度谱和相位谱。解：MATLAB源程序为ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw));gridontitle('幅度谱')phase=atan(imag(Fw)/real(Fw));subplot(212)ezplot(phase);gridontitle('相位谱')图1单边指数信号的幅度谱和相位谱MATLAB数值计算求解法fourier()和ifourier()函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数()t等项，则用ezplot()函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号()ft是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量()fn，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier()函数对f(n)进行处理，而只能用数值计算方法来近似求解。从傅里叶变换定义出发有0()()lim()jtjnFftedtfne，当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号()ft，或者在所研究的时间范围内让()ft衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。假设是因果信号，则有10()(),01MnjnFfnenM傅里叶变换后在域用MATLAB进行求解，对上式的角频率进行离散化。假设离散化后得到N个样值，即2,0kkkNN－1，因此有10()(),01MnkjnFkfnekN。采用行向量，用矩阵表示为1*1**[()][()][]kjnTTTNMMNFkfne。其要点是要正确生成()ft的M个样本向量[()]fn与向量[]jnke。当足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换的数值解。例4用MATLAB数值计算法求三角脉冲幅度谱。三角脉冲的数学表达式如下：12,402()12,042ttfttt解：MATLAB源程序为：dt=0.01;t=-4:dt:4;ft=(t+4)/2.*uCT(t+4)-t.*uCT(t)+(t-4)/2.*uCT(t-4);N=2000;k=-N:N;W=2*pi*k/((2*N+1)*dt);F=dt*ft*exp(-j*t'*W);plot(W,F),gridonaxis([-pipi-19]);xlabel('W'),ylabel('F(W)')title('amplitudespectrum');图2三角脉冲信号的幅度谱傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了信号的时域和频域的关系。熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。尺度变换特性傅里叶变换的尺度变换特性为：若()()ftF，则有1()()fatFaa，其中，a为非零实常数。例5设矩形信号()(1/2)(1/2)ftutut，用MATLAB命令绘出该信号及其频谱图。当信号()ft的时域波形扩展为原来的2倍，或压缩为原来的1/2时，则分别得到(/2)ft和(2)ft，用MATLAB命令绘出(/2)ft和(2)ft的频谱图，并加以分析比较。解：采用符号运算法求解，并分析结果。MATLAB源程序为：ft1=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');subplot(321);ezplot(ft1,[-1.51.5]),gridonFw1=simplify(fourier(ft1));subplot(322);ezplot(abs(Fw1),[-10*pi10*pi]),gridonaxis([-10*pi10*pi-0.22.2]);ft2=sym('Heaviside(t/2+1/2)-Heaviside(t/2-1/2)');subplot(323);ezplot(ft2,[-1.51.5]),gridonFw2=simplify(fourier(ft2));subplot(324);ezplot(abs(Fw2),[-10*pi10*pi]),gridonaxis([-10*pi10*pi-0.22.2]);ft3=sym('Heaviside(2*t+1/2)-Heaviside(2*t-1/2)');subplot(325);ezplot(ft3,[-1.51.5]),gridonFw3=simplify(fourier(ft3));subplot(326);ezplot(abs(Fw3),[-10*pi10*pi]),gridonaxis([-10*pi10*pi-0.22.2]);频移特性傅里叶变换的频移特性为：若()()ftF，则有00()()jtfteF。频移技术在通信系统中得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频移的实现原理是将信号()ft乘以载波信号0cost或0sint，从而完成频谱的搬移，即0000001()cos[()()]2()sin[()()]2fttFFjfttFF例6阅读并运行如下程序段，并观察信号调制前后的频谱。ft1=sym('4*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');Fw1=simplify(fourier(ft1));subplot(121);ezplot(abs(Fw1),[-24*pi24*pi]),gridonaxis([-24*pi24*pi-0.22.2]);title('矩形信号频谱');ft2=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');Fw2=simplify(fourier(ft2));subplot(122);ezplot(abs(Fw2),[-24*pi24*pi]),gridonaxis([-24*pi24*pi-0.22.2]);title('矩形调制信号频谱');3.实验内容试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘出其幅度谱和相位谱。（1）1sin2(1)()(1)tftt（2）22sin()()tftt试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。（1）1104()35Fjj（2）224()Fe试用MATLAB数值计算方法求门信号的傅里叶变换，并画出其频谱图。门信号即1,/2()0,/2tgtt，其中1。已知两个门信号的卷积为三角波信号，试用MATLAB命令验证傅里叶变换的时域卷积定理。4.问题与思考傅里叶变换的其他性质可以用类似的方法加以验证，试举一例，说明你验证过程的思路。