应用柯西不等式解中学数学题

1应用柯西不等式解中学数学题（竞赛专题）温州中学谢正康柯西不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其他一些不等式，有时还较为简捷。柯西不等式内容是：若21,aa…，na与21,bb…，nb为两组实数，则2222122211nnnaaabababa)(22221Abbbn当且仅当nnbababa2211时，（A）式取等号。证明：因为0002222211xbaxbaxbann所以把上列n个不等式相加得)1(,02222211xbaxbaxbaxfnn)2(02222212211222221nnnnaaaxbababaxbbbxf因为,022221nbbb且0xf，所以关于x的二次三项式xf的判别式△0即△=044222212222122211nnnnaaabbbbababa即)(222212222122211Abbbaaabababannnn现在研究（A）式取等号问题。若（A）式取等号，则△=0，于是由（2）知方程0)(xf有二重实根,kx代入（1）得02222211kbakbakbann于是，02211kbakbakbann2所以)3(2211kbababann这样，就是由若（A）式取等号，推导得（3）成立。反之，由（3）易于推导出（A）式取等号说明：应用柯西不等式（A）证题的关键是善于构造两组数：;,,;,,2121nnbbbaaa不等式（A）的左端是这两组数对应项的乘积之和的平方，即22211nnbababa，右端是每组中诸数平方和之积。即222212221nnbbbaaa例1：已知，112222122221nnxxxaaa求证：12211nnbaxaxa证法一：（常用证法）,2,2,222222222112121nnnnxaxaxaxaxaxa把上面n个不等式相加，得,22222112222122221nnnnxaxaxaxxxaaa即12222112211nnnnxaxaxaxaxaxa证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：nnxxxaaa2121,;,,由柯西不等式（A）有12211222212222122211nnnnnnxaxaxaxxxaaaxaxaxa两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例2：设naaa,,21是一串互不相同的正整数，证明对一切自然数n，都有3nnaaan12112122221分析：上不等式可写为222212112111naaann构造如下两组数：naaan,,2,121；naaa1,1,121由柯西不等式（A），有nnnnaaanaaaanaaaaa1112111211212222122211即nnaaanaaan11121121121222212与原不等式比较，须证naaan1211111121就行了怎样证明上一不等式呢？因为naaa,,21是不相同的正整数，不失一般性，故可设naaa,,21，是从小到大排列的正整数，于是有naaan,,2,121naaan11,211,1121把上n个不等式相加，有222212121121112111111naaannaaann请读者根据上面的分析写出证明例3：设△ABC为任意三角形，求证：41222222CtgBtgAtg分析：从所要证明的不等式出发，构造如下两组数：2,2,2CtgBtgAtg，1，1，1由柯西不等式（A），有2222221112222121212CtgBtgAtgCtgBtgAtg即222222312222CtgBtgAtgCtgBtgAtg把上面这个不等式与求证的不等式比较，可知如果能推导出3222CtgBtgAtg，问题就解决了，但是，3222CtgBtgAtg，所以，这样构造的两组数不能证明求证的不等式成立，因此应修改所构造的两组数如下：2,2,2CtgBtgAtg；,2,2,2AtgCtgBtg由柯西不等式（A），有2222222222222222222AtgCtgBtgCtgBtgAtgAtgCtgCtgBtgBtgAtg即22222222222222CtgBtgAtgAtgCtgCtgBtgBtgAtg.把上面不等式与求证不等式比较，可知要证原不等式成立，须证.1222222AtgCtgCtgBtgBtgAtg上面这个不等式，可证明如下：由已知,CBA,22CctgBAtg,2122122CtgBtgAtgBtgAtg5.1222222AtgCtgCtgBtgBtgAtg这样，本题即可证明了.根据上面的分析，写出证明如下：先构造如下两组数;2,2,2CtgBtgAtg.2,2,2AtgCtgBtg由柯西不等式（A）有2222222222222222222AtgCtgBtgCtgBtgAtgAtgCtgCtgBtgBtgAtg即.22222222222222CtgBtgAtgAtgCtgCtgBtgBtgAtg由已知,CBA,22CctgBAtg,2122122CtgBtgAtgBtgAtg1222222AtgCtgCtgBtgBtgAtg于是，有12222222CtgBtgAtg,1222222CtgBtgAtg.例4：设nannxfxxx121lg其中a是实数，n是任意给定的自然数且2n，(i)如果)(xf当x]1,(时有意义,求a的取值范围(ii)如果],1,0(a证明xfxf22当0x时成立.(1990年全国普通高等学校招生统6一考试第26题)此题第二步骤用柯西不等式证明较为简捷.证明：构造两组数，annxxxx,)1(,3,2,11,1,1,1当10a0x时，有aa2由柯西不等式（A）有))1(321(])1(321(])()3()2(1)(111()1)1(131211(22222222222222222annnannnanannxxxxxxxxxxxxxxx当0,1xa时，因x21.于是由柯西不等式得nnnxxx2))1(21())1(21(222xxxnn故当]1,0(a0x都有2))1(21(xxxnnn))1(21[222annxxx