建模试题201110

1试题说明1.每支队伍（2-3人/队）可以从以下题中任意选取一题，也可以从教材《数学实验与数学建模》第四章各建模案例后面的习题中任选一题，完成一篇论文。论文的具体要求参阅《论文格式规范》。2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。（1）贷款月还款多少随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；贷款，保险，养老金和信用卡；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。2005年12月，中国人民银行公布的存，贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列种类,期限1年以下(含1年)1-3年(含3年)3-5年(含5年)5-10年(含10年)10-15年(含15年)15-20年(含20年)个人住房按揭贷款5.315.315.315.585.585.58以人民币10万元为例计算贷款的月还款数（计算到20年）（2）费用分担问题有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：0.7120.51C1=730Q(C2=6.6QL建厂费用万元）管道费用（万元）2已知三城镇的污水量分别为：Q1=5立方米/秒，Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米/秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？**********以下为lingo或者MATLAB软件实现题目*******（一）假设你是一家彩票管理中心的负责人。彩票已经全部售出，但彩票奖金不是立刻全部兑付，而是15年内逐年兑付。已经未来15年每年为了支付奖金所需要的现金的确切数字分别是：10，11，12，14，15，17，19，20，22，24，26，29，31，33，36（百万元）。彩票收入除一部分留作基金用于应对未来一系列的付款对现金的需求外，其余部分将上缴国家。为了将尽可能多的彩票收入上缴国家，你计划用成本最小的国债和存款组合来应对未来一系列的付款对现金的需求。你打算用基金的一部分来购买目前正在销售的可靠性较好的两种国债（或之一）：第一种国债的年限为6年，每份价格为0.98（百万元），每年可获得固定息票0.06（百万元）；第二种国债年限为13年，每份价格为0.965（百万元），每年可获得固定息票0.065（百万元）。对于没有购买国债的基金，可以用于短期存款，估计未来15年短期存款的年利率为4%左右。请确定购买国债的数量和用于短期存款的金额。（二）某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进3的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）所购证券的平均到期年限不超过5年证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？（三）假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前投标人提交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。每个投标人对其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？4投标组合包投标人1投标人1投标人2投标人2投标人3投标人3包含的土地ABDCDEBEADBDECE投标价格958060829071（四）某投资者有基金10万元，考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资，已知：项目A从第1年到第4年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%项目B从第3年初需要投资，并于第5年年末回收本利125%项目C从第2年初需要投资，并于第5年年末回收本利140%，但按照规定此项投资不能超过3万元项目D5年内每年年初可购买公债，当年年末回收本利106%应如何安排资金，可使第5年年末的资金总额最大？（五）某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：化肥厂A—7万吨，B—8万吨，C—3万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区—6万吨，乙地区—6万吨，丙地区—3万吨，丁地区—3万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示：产粮区化肥厂甲乙丙丁A5879B491075C8429试根据以上资料制订一个使总的运费为最少的化肥调拨方案（六）已知某运输问题的产销平衡表与单位运价表如下表所示销地产地ABCDE产量Ⅰ101520204050Ⅱ2040153030100Ⅲ3035405525150销量25115603070（1）求最优调拨方案；（2）如产地III的产量变为130，又B地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案。（七）某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数（R）如下表所示。现在准备在海岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？123456789101112X08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55Y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.886R6001000800140012007006008001000120010001100（八）（转运问题）设有两个工厂A、B,产量分别为9，8个单位；四个顾客分别为1，2，3，4，需求量分别为3，5，4，5；三个仓库x,y,z.其中工厂到仓库、仓库到顾客的运费单价见下表所示。试求总运费最少的运输方案以及总运费。AB1234x1357100100y21967100z1002100674（九）某农户拥有100亩土地和25000元可供投资，每年冬季（9月份中旬至来年5月中旬），该家庭的成员可以贡献3500h的劳动时间，而夏季为4000h。如果这些劳动时间有赋予，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时6.8元，夏季每小时7.0元。现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要400元的初始投资，每只母鸡需要3元的初始投资，每头奶牛需要使用1.5亩土地，并且冬季需要付出100h劳动时间，夏季付出50h劳动时间，该家庭每年产生的净现金收入为450元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬季0.6h，夏季0.3h，年净现金收入3.5元。养鸡厂房7最多只能容纳3000只母鸡，栅栏的大小限制了最多能饲养32偷奶牛。根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如下表所示。建立数学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。农作物冬季劳动时间/h夏季劳动时间/h年净现金收入（元/亩）大豆2030175.0玉米3575300.0燕麦1040120.0（十）某电子厂生产三种产品供应给政府部门：晶体管、微型模块、电路集成器。该工程从物理上分为四个加工区域：晶体管生产线、电路印刷与组装、晶体管与模块质量控制、电路集成器测试与包装。生产中的要求如下：生产一件晶体管需要占用晶体管生产线0.1h的时间，晶体管质量控制区域0.5h的时间，另加0.70元的直接成本；生产一件微型模块需要占用质量控制区域0.4h的时间；消耗3个晶体管，另加0.50元的直接成本；生产一件电路集成器需要占用电路印刷区域0.1h的时间，测试与包装区域0.5h的时间，消耗3个晶体管、3个微型模块，另加2.00元的直接成本。假设三种产品（晶体管、微型模块、电路集成器）的销售量是没有限制的，销售价格分别为2.0元，8元，25元。在未来的一个月里，每个加工区域均有200h的生产时间可用，请建立数学模型，帮助确定生产计划，使工厂的收益最大。8（十一）假设你刚刚成为一家生产塑料制品的工厂的经理。虽然工厂在生产运作中牵涉到很多产品和供应件，但你只关心其中三中产品：（1）乙烯基石棉楼面料，产品以箱计量，每箱覆盖一定面积；（2）纯乙烯基楼顶料，以平方米计量；（3）乙烯基石棉墙面砖，以块计量，每块砖覆盖1㎡。在生产这些塑料制品所需要的多种资源中，你已经决定考虑以下四种资源：乙烯基、石棉、劳动力、在剪削机上的时间。最近的库存状态显示，每天有15000kg乙烯基、200kg石棉可供使用。此外，经过与车间管理人员和不同部门的人力资源负责人的谈话，你已经知道每天有3人*日的劳动力和1机器*日的剪削机可供使用。下表中列出了每生产三种产品一个计量单位时所消耗的四种资源的数量，其中一个计量单位分别为1箱楼面料、1㎡楼顶料和1块墙面砖。可供使用的资源的数量也列在表中。建立数学模型，帮助确定如何分配资源，使利润最大。乙烯基/kg石棉/kg劳动力/人*日剪削机机器*日利润/元楼面料（箱）3030.020.010.8楼顶料（㎡）2000.10.055墙面砖（块）5050.20.055.5可供应量（每天）150020031—9（十二）假设你把月工资（5千美元支票，每个月的第一天拿到）以电子方式存入你的现金帐户（moneymarketaccount，MMA）,年利率为3%。利息是按照每月你的现金帐户上的最小钱数计算的，并在12月31日进入你的现金帐户。在同一家银行你还有一个支票帐户（checkingaccount,CA），这个帐户没有利息。你总是通过邮寄支票付账，除了支付邮票外从来不用现金，支付邮票的现金是从现金帐户中提取的。所以你必须经常去银行，将现金帐户中的钱转到支票帐户，以便支付住房贷款、固定电话费、有线电视费、移动电话费、上网费、汽车保险、信用卡费以及其他费用，每个月要使用10张支票，共3千美元。此外，每个季度（三月、六月、九月、十二月）你还要使用5张支票支付一些账单，每个季度一共2千美元；每年四月需要分别支付2千美元和5千美元的税单，每年八月还要支付4千美元的税单。最后，在每年的12月31日，你还要签发本年度的最后7张支票，将你的年收入中的其他部分（5千美元减去邮资），捐给你最认可的一些基金会和慈善机构。假设开始时你现金帐户中的钱足够多，所以不需要担心超支。现在银行提出让你改变这个程序：他们将从现金账户中支付所有的账单，没有手续费。这样，你就没有必要每年填写150张支票和邮寄地址，可以节省邮资和支票。此外，银行将自动在每月的第一天将你的现金账户上的一定数量的钱转到支票账户上，自动在每年的第一天（1月1日）将你的现金账户的一定数量的钱转到支票账户上，不需付出任何费用。如果接受这个方案，你就没有必要再去银行和邮局10了。但是，你必须决定每月转账和每年转账的数额a和b。如果你把每月的工资5千美元全部转到支票账户（a=5，b=0），这样一切都是可行的，但你不能从现金账户获得任何利息。当a很小时，你的支票账户将会超支，从而会引起罚款和其他一系列麻烦，所以你也不希望出现这种麻烦。那么最优解是什么？（十三）假设某公司在银行有一个现金账户和一个长期投资账户，现金账户利息很低，而长期投资账户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金账户进行，如果现金账户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资账户；反之，需要将一部分钱从长期投资账户转入现金账户。为简单起见，假设以万元为单位，现金账户的钱数只能是-20，-10，…,40,50(万元)之一，分别记为状态1，2，…，7，8，他们每个月分别导致的费用如下表所以。此外,根据统计,如果当月现金账户的状态位于(27)ii,下个月现金账户的状态只