建模试题解答

数学建模基础课程试卷一、简述题：（30分）1．数学建模的意义。近几十年来，数学的应用不仅在它的传统领域,工程技术、经济建设发挥着越来越重要的作用，而且不断地向一些新的领域渗透，形成了许多交叉学科，如计量经济学、人口控制论、生物数学、地质数学等等，数学与计算机技术相结合，形成了一种普遍的、可以实现的关键技术——数学技术，成为当代高新技术的重要组成部分，而数学技术中的数学建模技术越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义。(1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。(2)在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。(3)数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的应用领地2．数学建模分析思路。数学建模面临的实际问题是多种多样的,建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，一般而言，数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环3．数学建模常用方法（至少写出8种）（1）机理分析（2）测试分析（3）动态优化（4）层次分析法（5）插值与拟合（6）多元回归（7）数据包络分析（8）线性规划（9）灰色系统（10）TOPSIS理想解法4．数学建模的基本步骤。建模的过程一般如下所示：（1）模型准备了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据等，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型情况明才能方法对在模型准备阶段要深入调查研究。（2）模型假设根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设对于建模的成败这是非常重要和困难的一步假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的综合想像力、洞察力、判断力，以及经验，在模型假设中起着重要作用。（3）模型构成根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等这里除了需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识要善于发挥想像力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其它对象的共性，借用已有的模型（4）模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。（5）模型分析对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等（6）模型检验把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模，如图!中的虚线所示这一步对于模型是否真的有用非常关键，要以严肃认真的态度对待有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。（7）模型应用应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关，为我们得出正确的结果而得出的结论。5．你学习数学建模基础课的主要收获与体会（为避免抄袭，完全相同的答卷均取消成绩）。数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学习数学的兴趣，丰富数学探索的情感体验；有利于自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展；有利于体会和感悟数学思想方法。同时增强自身数学模型的构建意识与能力，才能激发主动思维，自主构建有效的数学模型，从而使数学课堂彰显科学的魅力。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。我们的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。二、数学建模基础课程论文题目（40分）题目：基金使用计划表1.1存期银行存款税后年利率(%)活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.944三年期2.160五年期2.304校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金金额。请你帮助校基金会设计一个基金使用方案，并对M=2000万元，n=10年给出具体结果：基金使用计划问题答案1、问题假设①假设基金是在计划期第一年的一月一日到位，且n年内基金数额不再增加②假设第二年开始每年的一月一日发放奖金一次，且第n+1年的一月一日发放第n年的奖金③假设计划期n年内存款利率不变2、符号假设符号符号说明LRM表示基金总额y表示每年奖励师生的奖金数ijx表示第i年的j年期存款方式ip表示第i年期定期存款利率3、问题分析由于每年发奖金的时间在1月1日，第n+1年的1月1日发第n年的奖金，由于半年期和活期存款利率较低，我们不采用该存款方式，而只能采用一年期，二年期，三年期，五年期的存款方式，所以我们根据本息合计=本金+利息的思想方法来建立规划模型，求解出最佳的基金使用计划最优的投资方案。4、模型的建立模型的建立符合以下原则：每一年可用于投资的基金为来自前几年存入的到期存款本息减去当年发放的奖金额度，每年的资金在发放完奖金后选择合适的投资方式做投资。在每年的奖金额大致相同的情况下建立下列的模型：目标函数：Maxy约束条件：11121315212223251113132333521212141424345313222131515253553232321411235(1);(12)(1);(13)(12)(1);(13)(12)(1);iiiixxxxMxxxxpxyxxxxpxpxyxxxxpxpxpxyxxxxpxpxpxyxxxx5(i5)53(i3)32(i2)21(i1)1(n1)1(n1)2(n1)3(n1)55(n6)53(n4)32(n3)21(n2)115(n5)53(n3)3(15)(13)(12)(1);(6in4)(15)(13)(12)(1);(15)(13)npxpxpxpxyxxxxpxpxpxpxyxpxpx2(n2)21(n1)15(n4)53(n2)32(n1)211(12)(1);(15)(13)(12)(1);0;1,2,3;1,2,3,5;0;0;niipxpxypxpxpxpxyMxinjyn所以校基金会可以按照上面建立的规划模型的约束条件确定出基金使用的最佳方案。5、问题求解当n=10,M=2000万时，利率为题中所给利率时，模型为1112131521222325113132333512214142434513223151525355233241616263652000;1.018;1.038881.018;1.06481.038881.018;1.06481.038881.018;1.xxxxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxyxxxxxxxyxxxx153342517172732543526181828335536271919245637281(11521.06481.038881.018;1.11521.06481.038881.018;1.11521.06481.038881.018;1.11521.06481.038881.018;xxxxyxxxxxxxyxxxxxxxyxxxxxxyx10)155738291658392(10)11.11521.06481.038881.018;1.11521.06481.038881.0182000;0;1,2,9,10;1,2,3,5;ijxxxxyxxxxyxij运用lingo软件编程（程序如下）model:max=y;x11+x12+x13+x15=2000;x21+x22+x23+x25=1.018*x11-y;x31+x32+x33+x35=1.03888*x12+1.018*x21-y;x41+x42+x43+x45=1.0648*x13+1.03888*x22+1.018*x31-y;x51+x52+x53+x55=1.0648*x23+1.03888*x32+1.018*x41-y;x61+x62+x63+x65=1.1152*x15+1.0648*x33+1.03888*x42+1.018*x51-y;x71+x72+x73=1.1152*x25+1.0648*x43+1.03888*x52+1.018*x61-y;x81+x82+x83=1.1152*x35+1.0648*x53+1.03888*x62+1.018*x71-y;x91+x92=1.1152*x45+1.0648*x63+1.03888*x72+1.018*x81-y;x101=1.1152*x55+1.0648*x73+1.03888*x82+1.018*x91-y;1.1152*x65+1.0648*x83+1.03888*x92+1.018*x101-y=2000;end运行的结果为Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:43.92678Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:10VariableValueReducedCostY43.926780.000000X11158.70490.000000X1280.197840.000000X1378.245610.000000X151682.8520.000000X210.0000000.2709247E-03X220.0000000.7466756E-03X2378.245610.000000X2539.389150.000000X310.0000000.7316685E-03X320.0000000.4673388E-03X330.0000000.8708696E-03X3539.389150.000000X410.0000000.000000X420.0000000.8496704E-03X430.0000000.1367398E-03X4539.389150.000000X510.0000000.1087030E-02X520.0000000.8346467E-03X530.0000000.3884287E-03X5539.389150.000000X610.0000000.000000X620.0000000.000000X630.0000000.000000X651832.7890.000000X710.0000000.2429382E-03X720.0000000.6695441E-03X730.0000000.000000X810.0000000.6560873E-03X820.0000000.4190628E-03X830.0000000.7809089E-03X910.00000