实验库1一元函数微分学5

1实验一一元函数微积分学实验5抛射体的运动（综合实验）引言Mathematica可以被用来探索各种各样的可能性,从而能在给定的假设条件下模拟出所求数学问题的解.下面讨论的问题是关于抛射体的飞行的一个样本实验,具体在这里就是研究炮弹在没有空气阻力情况下的运动.我们意图通过这样一个范例,让读者了解如何利用数学实验方法来探索一个数学问题的求解.在你写实验报告时,一定要清楚地解释你做了什么以及为什么要这样做,同时逐步熟悉科学报告的写作方法.问题根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km的前方有一敌军的坦克群正以每小时50km向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群.为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题.假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s至0.6km/s之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明假设不考虑空气阻力,则炮弹的运动轨迹由参数方程tavtx)sin()(,221)cos()(gttavty给出,其中v是炮弹发射的初速度,a是炮弹的发射角,g是重力加速度（9.8m/2s）.上面第一个方程描述炮弹在时刻t的水平位置,而第二个方程描述炮弹在时刻t的垂直位置.我们假设大炮位于坐标原点（0yx）,y轴正向垂直向上,x轴水平指向敌军坦克.下面先利用Mathematica绘图命令显示出炮弹运行的典型轨迹.输入horiz[v_,a_,t_]:=vCos[aPi/180]tvert[v_,a_,t_]:=vSin[aPi/180]t-(1/2)gt^2g=9.8假定炮弹发射的初速度为0.25km/s,发射角为65,输入ParametricPlot[{horiz[250,65,t],vert[250,65,t]},{t,0,50},PlotRange-{0,5000},AxesLabel-{x,y}]得到炮弹运行轨迹的典型图形（图5-1）:210002000300040005000x10002000300040005000y图5-1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1)选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的轨迹.(2)假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克？画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3)假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角？从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4)在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案？实验6一元函数积分学(基础实验)实验目的掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察,深入理解定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用定积分解决各种问题的能力.实验举例：1、用定义计算定积分当)(xf在],[ba上连续时,有nknnknbanabkafnabnabkafnabdxxf110)(lim)(lim)(因此可将10)(nknabkafnab与nknabkafnab1)(作为badxxf)(的近似值.为了下面计算的方便,在例1.1中定义这两个近似值为baf,,和n的函数.3例1.1(教材例1.1)计算102dxx的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]];s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];TableForm[js1,TableHeadings-{None,{n,s1,s2}}]则输出ns1s220.1250.62540.218750.4687580.2734380.398438160.3027340.365234320.3178710.349121640.3255620.3411871280.3294370.337252560.3313830.3352895120.3323570.33431110240.3328450.333822这是102dxx的一系列近似值.且有.21102sdxxs例1.2计算10sindxxx的近似值.输入Clear[g];g[x_]=Sin[x]/x;js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]则得到定积分的一系列近似值:{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…,{48,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}4注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n收敛很慢.可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节).如果用Nintegrate命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.例1.3用定义求定积分badxx2的动画演示.输入Clear[f,x,a,b];f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle-{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction-Identity];For[j=3,j=50,j+=2,m=j;tt1={};tt2={};For[i=0,im,i++,x1=a+i*(b-a)/m;x2=x1+(b-a)/m;tt1=Append[tt1,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Rectangle[{x1,0},{x2,f[x2]}]}]];tt2=Append[tt2,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Rectangle[{x1,f[x1]},{x2,0}]}]]];Show[tt1,tt2,g1,DisplayFunction-$DisplayFunction,PlotLabel-m''intervals'']]执行以上命令,可得到一系列图形(共24幅),如果观察动画,只要选中24幅图形中的任一幅图形,双击以后即可以形成动画.当分割越来越细时,观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系,有助于理解定积分的概念及其几何意义。2、不定积分计算例1.4求.)1(532dxxx输入Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]则输出18x3x6x59x106x53x181512963例1.5求.3sin2xdxex5输入Integrate[Exp[-2x]*Sin[3x],x]则输出])3[2]3[3(1312xSinxCosex例1.6求.arctan2xdxx输入Integrate[x^2*ArcTan[x],x]则输出]x1[Log61]x[ArcTanx316x232例1.7求.sindxxx输入Integrate[Sin[x]/x,x]则输出SinIntegrate[x]它已不是初等函数.3、定积分计算例1.8求.)(102dxxx输入Integrate[x-x^2,{x,0,1}]则输出61例1.9求.|2|40dxx输入Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]则输出46例1.10求.4212dxx输入Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}]则输出)233(61例1.11求.102dxex输入Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则输出]1[21Erf其中Erf是误差函数,它不是初等函数.改为求数值积分,输入NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则有结果0.746824.3、求平面图形的面积例1.12设xxexfcos)2(2)(和).2cos(4)(xxg计算区间]4,0[上两曲线所围成的平面的面积。输入命令Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2Cos[Pix]];g[x_]=4Cos[x-2];Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle-{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}];FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}]FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}]NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}]则输出两函数的图形（图1.2）及所求面积.17413.4s71234-11234图1.2