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弹性力学期中测验部分试题解答春暖花开1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程(无体力)。解:基本关系和单位矢量关系为:,.将看作的函数,对基本关系对和分别求偏导,得:由上面得到的结果以及求导连锁法则可得:(1)极坐标下应力分量()与直角坐标下应力分量()有关系:(2)将(1)、(2)代入直角坐标下平衡方程有:(3)完成(3)式的运算,得:(4)方程组(4)可以看作括号内量的齐次方程组,其系数矩阵的行列式为从而齐次方程组(4)的只有零解,即这就是极坐标下的平衡方程。2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。解:直角坐标下位移分量()与极坐标下位移分量()的关系式如下:(6)一方面,将(6)式和(1)式代入到直角坐标下的几何方程并进行整理,可得到(7)另一方面,利用不同坐标系下应变分量的转换关系式,也可得极坐标下应力分量()与直角坐标下应力分量()之间的关系:(8)由(7)和(8)可以消去,并进行适当的整理可以得到(9)与平衡方程的讨论一样,可以将(9)看作括号内量的齐次方程组,并验证得到其系数行列式故齐次方程(9)只有零解,从而这就是极坐标下的几何方程。注:导出极坐标下的平衡方程和几何方程,一般而言有三种方案:其一是在极坐标系下直接利用物理和几何得到;其二是将平衡方程和几何方程的张量形式在极坐标下投影即可;其三就是本答案的写的,利用坐标变换获得。三种方案各有优缺点。3.已知,其他应力分量为零,求位移场。解:由本构关系可以得到(10)由(10)的前三个方程分别对积分,得(11)(12)(13)将(11)、(12)代入(10)的第四个方程中,可得稍作整理就可得到:此方程的左边的自变量为,右边的自变量为,等式要恒成立则要求两边只能是自变量的函数,故可以令:将这两个方程分别对积分就得到(14)将(14)代入到(10)的第五、六个方程中,分别得到即:(15)(16)一方面,对(15)求x偏导,对(16)求y偏导,得到从而可得:,即(为常数)(17)另一方面,(15)、(16)两等式的左边均只为的函数,从而要求等式的左边不能有含z的项,也就是说(均为常数)将上两式分别对z积分后有(18)(19)其中均为常数。综合以上两个方面的讨论,(15)、(16)可以化简为积分就可以得到(20)将(18)、(19)代入到(14)的两个方程中,可以得到(21)(22)最后将(22)、(21)、(20)分别代入(11)、(12)、(13)就得到了
本文标题:弹性力学期中测验部分试题解答
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