对泛函的理解

作业一：基于有限变量集与无限变量集的概念，统一微分和变分的定义，重写1-4.2~1-4.5的内容。为了统一微分与变分的定义，以微分形式表述能量原理，我们引入无限变量集与有限变量集的概念。结构中每一点的挠度可构成挠度场，即)(xv，表示坐标ixx对应的挠度集合，显然)(xv是一个无限变量集。我们在计算时将这无限个挠度值离散，得到有限变量集1v、2v、3v……iv。当i趋于无穷时，离散后的挠度值仍为无限变量集。而后，以受分布荷载的简支梁为例，将其势能的变分表达式改写为微分表达式。首先，给出变分的势能表达式与势能一阶表达式。其势能表达式为：dxqvdxvdEIlp02222直接利用变分法求泛函得其一阶变分为：dxvqvEIvdxqvvEIllp002''2而后，进行微分改写。若我们将该简支梁受力后形成的挠度场)(xv离散，可得离散后的挠度：1v、2v、3v……nv，将iv（i=1、2、3……n）看作自变量，idv为iv发生微小变化时的变化量，idv为iv发生微小变化时的变化量。在此，值得说明的是，就''iv来讲，''iv表示ixx时，函数)(xv的二阶导数。对于离散前的)(xv的二阶导，其可构成平滑的曲线。当)(''xv发生变化时，变化量可表示为)()(''1''2xvxv（其中)(),(''2''1xvxv分别表示变化前、后的)(''xv）。因此，我们关注的是''iv整体的变化，而非x的变化，亦或是过分关注其导数的含义。又根据定积分的数学定义：设函数)(xf在区间[a,b]上的有界，在[a,b]中任意插入若干个分点bxxxxan210把区间[a,b]分成n个小区间，各区间的长度依次为),2,1(,1ixxxiii，在各区间上取一点)(iiix，作乘积),2,1()(ixfii，令nxxx,,,max21，那么在区间[a,b]上的定积分可记为iniibaxfdxxf10)()(lim。简支梁的势能表达式可改写为：nnnpxqvvEIxqvvEIxqvvEIxqvvEI23323222211212222由新的表达式，我们可以得到p的一阶微分：nnnnpxqdvdvEIvxqdvdvEIvxqdvdvEIvxqdvdvEIvd)()()()(333322221111若取xxxxn21，则上式可表示为：xdvvdvvdiniipiniipp''1''1将该式与直接利用变分法求得的泛函一阶变分表达式做对比可知，式中的积分号与求和号相对应，积分号与求和号后的运算完全是等价的。另外，在能量法近似求解时，我们对挠曲函数进行整体插值，即xaxvini1。简支梁的势能表达式为：dxaqaEIlniiniip01212从这个角度，我们依然可以看出，能量表达式由以前的泛函形式转化成了函数表达式。既然p已变为函数，那么势能极值问题可根据函数极值条件求解，即：0,0,021npppaaa由上述两种离散方式，我们可以知道当结构有无限个自由度离散成有限个自由度时，能量表达式的泛函形式随之可转换为函数形式，那么原来求泛函极值的问题也将转化为求函数极值的问题。能量函数的极值条件我们都知道函数)(xf在0xx处为极小值的条件为：0)('xf处）（在00)(xxxf那么，泛函)]([xv取极小值的条件是否为：0处）（在)()(002xvxv在此，给出数学证明如下：我们考察最简泛函dxvvxFvl0,,式中vvxF,,具有二阶连续偏导。应用多元函数的泰勒公式，被积函数vvxF,,在xvv上的增量可写成如下形式vvxFvvvvxFF,,,,22221vFvvFvFvFvFvvvvvvvv式中，vvvvvvFFF,,分别表示vvvvvvFFF,,在点vvvvx21,,处的值，101，102。且321,,vvvvvvvvvvvvFFFFFF，321,,为无穷小量。因此，上式右端的第一项称为函数vvxF,,的一阶变分，记为F，即vFvFFvv上式右端的第二项称为函数vvxF,,的二阶变分，记为F2，即222221vFvvFvFFvvvvvv于是22RFFF其中2R为高阶无穷小量。由此，泛函v的变化量可表示为：dxvvxFvvvvxFl0,,,,如果泛函dxvvxFvl0,,在xvv0上取极值，对于xvv0和任意固定的v，vxv0，其中是变量的函数，当0时，xvv0，即v取得极值，相应的函数在此时取得极值，因此，00。dxvvvvvxFvvvvvxFlvv0,,,,令00,,,,00dxvvvxFvvvxFlvv易知，00由此可见，0为必要条件。那么泛函的变量化简为：RFdxdxRFll02022积分Fdxl02称为泛函v在极值曲线上的二阶变分，记为2dxvFvvFvFFdxlvvvvvvl02202221对dxvvFlvv02分部积分得：dxFdxdvdxvvFvvllvv20022故dxvRvSl0222式中vvvvvvFRFdxdFS21,21。由此可见，泛函沿极值曲线取得极小值的充分条件为：0,0RS，即02。