导数大题题型全面

一、分类讨论：分类讨论复杂影响定义域，导是否有根，最高次项系数（开口方向）例1.（大兴19）已知函数2(2)()mxfxxm.（Ⅰ）当1m时，求曲线()fx在点11(,())22f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.(13分)解：（Ⅰ）当1m时，2()1xfxx.因为2221'()(1)xfxx，所以112'()225kf.因为12()25f，所以函数()fx在点11(,())22f处的切线方程为122540xy.……6分（Ⅱ）222(2)()(2)2'()()mxmmxxfxxm222(2)()()mxmxm（1）当0m时，2()fxx.因为22'()fxx，当'()0fx时，0,0xx或.所以函数()fx的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间.（2）当0m时,()fx的定义域为{}xxm.当'()0fx时，xmmxmxm或或,所以函数()fx的单调减区间为(,),(,,)mmmm),(，无单调增区间.（3）当0m时，22(2)()()'()()mxmxmfxxm.①当02m时，若'()0fx，则xmxm或，若'()0fx，则mxm，所以函数()fx的单调减区间为(,),(,)mm，函数()fx的单调增区间为(,)mm.②当2m时，()0fx，为常数函数，无单调区间.③当2m时，若'()0fx，则mxm，若'()0fx，则xmxm或，所以函数()fx的单调减区间为(,)mm，函数()fx的单调增区间为(,),(,)mm.综上所述，当0m时，函数()fx的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当0m时，函数()fx的单调减区间为(,),(,,)mmmm),(，无单调增区间；当0m时，①当02m时，函数()fx的单调减区间为(,),(,)mm，函数()fx的单调增区间为(,)mm；②当2m时，()0fx，为常数函数，无单调区间；③当2m时，函数()fx的单调减区间为(,)mm，函数()fx的单调增区间为(,),(,)mm………13根与定义域，最值处需要比较例2.（2012年北京理科）已知函数2()1(0)fxaxa，3()gxxbx．(Ⅰ)若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(1,)c处具有公共切线，求,ab的值；(Ⅱ)当24ab时，求函数()()fxgx的单调区间，并求其在区间（-∞，上的最大值解：（1）由1c，为公共切点可得：2()1(0)fxaxa，则()2fxax，12ka，3()gxxbx，则2()=3fxxb，23kb，23ab①又(1)1fa，(1)1gb，11ab，即ab，代入①式可得：33ab．（2）24ab，设3221()()()14hxfxgxxaxax则221()324hxxaxa，令()0hx，解得：12ax，26ax；0a，26aa，原函数在2a，单调递增，在26aa，单调递减，在6a，上单调递增①若12a≤，即2a≤时，最大值为2(1)4aha；②若126aa，即26a时，最大值为12ah③若16a≥时，即6a≥时，最大值为12ah．综上所述：当02a，时，最大值为2(1)4aha；当2,a时，最大值为12ah．二、恒成立问题例3（2014海淀一模）已知函数()lnfxxx.(Ⅰ)求()fx的单调区间；(Ⅱ)当1k时，求证：()1fxkx恒成立.(Ⅰ)定义域为0,------------------------------------1分'()ln1fxx------------------------------------2分令'()0fx，得1ex------------------------------------3分'()fx与()fx的情况如下：x1(0,)e1e1(,)e'()fx0()fx↘极小值↗--------------------------------5分所以()fx的单调减区间为1(0,)e，单调增区间为1(,)e--------------------------6分(Ⅱ)分离参数，证明1：设1()lngxxx，0x------------------------------------7分22111'()xgxxxx-------------------------------8分'()gx与()gx的情况如下：x(0,1)1(1,)'()fx0()fx↘极小值↗所以()(1)1gxg，即1ln1xx在0x时恒成立，----------------------10分所以，当1k时，1lnxkx，所以ln1xxkx，即ln1xxkx，X|k|B|1.c|O|m所以，当1k时，有()1fxkx.------------------------13分证明2：直接作差构造新函数令()()(1)ln1gxfxkxxxkx----------------------------------7分'()ln1gxxk-----------------------------------8分令'()0gx，得1ekx-----------------------------------9分'()gx与()gx的情况如下：x1(0,e)k1ek1(e,)k'()fx0()fx↘极小值↗---------------------10分()gx的最小值为11(e)1ekkg-------------------11分当1k时，1e1k，所以11e0k故()0gx-----------------------------12分即当1k时，()1fxkx.------------------------------------13分例4.（2015海淀期末文科20题）已知函数e()xfxx.（Ⅰ）若曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线方程为0axy，求0x的值；（Ⅱ）当0x时，求证：()fxx；（Ⅲ）问集合{()0}xfxbxR（bR且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）（Ⅰ）解：2ee'()xxxfxx.………………1分因为切线0axy过原点(0,0)，所以00000200eeexxxxxxx.………………3分解得：02x.………………4分（Ⅱ）分离变量证明：设2()e()(0)xfxgxxxx，则24e(2)'()xxxgxx.令24e(2)'()0xxxgxx，解得2x.………………6分x在(0,)上变化时，'(),()gxgx的变化情况如下表x(0,2)2(2,)+?'()gx-0+()gx↘2e4↗所以当2x时，()gx取得最小值2e4.………………8分所以当0x时，2e()14gx?，即()fxx.………………9分另解：还可以转化为，二次求导。（Ⅲ）分离参数数形结合解：当0b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为0；当2e04b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为1；当2e4b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为2；当2e4b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为3.………………13分6.(2013北京理)设l为曲线C：lnxyx在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方（答案在考试说明上）解：(1)设f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋lnxx2.当0x1时，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)单调递增．所以g(x)g(1)＝0(x0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．另解：等价转化------化成新函数的最值问题例7.(2012山东)（与2013北京高考题类似）导数等于0的根不好求已知函数ln()xxkfxe（k为常数，2.71828...e），曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值及零点。解：（Ⅰ）1ln'()xxkxfxe，依题意，1'(1)01kfke为所求.（Ⅱ）1ln1'()xxxfxe(0)x记1()ln1hxxx，211'()0hxxx，所以()hx在(0，)单减，又(1)0h，所以，当01x时，()0hx，'()0fx，()fx单增；当1x时，()0hx，'()0fx，()fx单减.所以，当x=1时函数f(x)取最大值f(1)=；例8，与上类似，根不好求2014西城文18.（已知函数()lnafxxx，其中aR．（Ⅰ）当2a时，求函数()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x，都有()2fxx，求a的取值范围．本小题满分13分）（Ⅰ）解：由2()lnfxxx，得212()fxxx，………………2分所以(1)3f，又因为(1)2f，所以函数()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程为350xy.………4分（Ⅱ）解：由()2fxx，得ln2axxx，即2ln2axxxx.………………6分设函数2()ln2gxxxxx，则()ln21gxxx，………………8分因为(1,)x，所以ln0x，210x，所以当(1,)x时，()ln210gxxx，………………10分故函数()gx在(1,)x上单调递增，所以当(1,)x时，()(1)1gxg.………………11分因为对于任意(1,)x，都有()2fxx成立，所以对于任意(1,)x，都有()agx成立.所以1a≤.………………13分根不好求时转化为两个基本初等函数可以猜出根，二次求导恒成立存在性问题二（14·东城二模·理）已知0a，函数2()21axfxax，()lngxaxxa.（1）求函数()fx的单调区间；（2）求证：对于任意的12,(0,e)xx，都有12()()fxgx.f'(x)=a(x2+1)-2ax2(x2+1)2=-ax2+a(x2+1)2;g'(x)=ax-1=-x+axF(x)=-ax2+a;a0,F(x)=0,x1=1,x2=-1;G(x)=-x+a,x0=a,]f(x1)ming(x2)max（12东城一模文）已知1x是函数()(2)exfxax的一个极值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当1x，20,2x时，证明：12()()efxfx．f(x1)max-f(x2)min£e（2010山东理）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.（Ⅰ）当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使1