导数题集锦1-25含答案

导数题1-251、已知函次xaeaxfx)1()1ln()(，)(ln)1()(2xfxaxxg，（Ra，71818.2e…），且)(xg在1x处取得极值。（1）求a的值和)(xg的极小值；（2）规定：一个函数)(xh在区间D上有意义，且对任意1x，2xD，21xx都有2)()()2(2121xhxhxxh＜，则称函数)(xh是区间D上的“凹函数”，利用此规定证明：)(xf是R上的凹函数；（3）已知ABC的三个顶点CBA、、都在函数)(xfy的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形。1的答案：解：（1）)0(ln)1()1ln()1()(2＞xxaxaxaxxg，)0(111)1(2)(＞xxaxaxxg依题设，0)1(g，∴8a，∴)0(ln9)1ln(87)(2＞xxxxxxg∴)0()1()32)(3)(1(91872)(＞xxxxxxxxxxg…………………（2分）由0)(xg，得1x或3x当31＜＜x时，0)(＜xg，当10＜＜x时，0)(＞xg当3＞x时，0)(＞xg，∴3x时，124ln83ln9)(小值极xg…………（4分）（2）∵xexfx9)1ln(8)(∴)2(2)()(2121xxfxfxf21212121212122221ln)1ln(81ln)1)(1ln(8xxxxxxxxxxxxeeeeeeee∵21xx，∴221212122xxeeeeexxxx＞…………………………………（6分）∴212121212211xxxxxxxxeeeee＞∴022)()(2121＞xxfxfxf∴2)()(22121xfxfxxf＜，故)(xf是)(，的凹函数……………（8分）（3）019918)(＜xxxxeeeexf恒成立，∴)(xf在)(，上单位调递减设))(())(())((332211xfxCxfxBxfxA，、，、，且321xxx＜＜，则)()()(321xfxfxf＞＞，且2312xxx∴))()((2121xfxfxxBA，，))()((2323xfxfxxBC，∴))()())(()(())((23212321xfxfxfxfxxxxBCBA∵021＜xx，023＞xx，0)()(21＞xfxf，0)()(23＜xfxf∴0＜BCBA，故B为钝角，∴ABC为钝角三角形………………………（10分）若ABC是等腰三角形，则只可能是BCBA即223223221221))()(()())()(()(xfxfxxxfxfxx∵2212xxx，∴223221)()()()(xfxfxfxf∴)()()()(3221xfxfxfxf，即2)()(23131xfxfxxf这与)(xf是凹函数矛盾，故ABC不能为等腰三角形…………………………（12分）2、设3x是函数23()()()xfxxaxbexR的一个极值点.（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求()fx的单调区间；（Ⅱ）设0a，225()()4xgxae,若存在12,[0,4]使得12()()1fg成立，求a的取值范围.2的答案：本题的第（Ⅱ）“若存在12,[0,4]使得12()()1fg成立，求a的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数fx在0,4x的值域与gx在0,4x的值域的交集非空，则一定存在12,[0,4]使得12()()1fg成立，如果函数fx在0,4x的值域与gx在0,4x的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数fx在0,4x的值域为323,6aea,又gx在0,4x的值域为2242525,44aae,存在12,[0,4]使得12()()1fg成立，等价于maxmin1fxgx或maxmin1gxfx，容易证明,2254a6a.于是,22561,30420.aaaa.3、已知函数].1,0[,274)(2xxxxf（1）求)(xf的单调区间和值域；（2）设1a，函数1,0,2323xaxaxxg,若对于任意1x1,0,总存在1,00x使得)()(10xfxg成立，求a的取值范围.3的答案：（1）对函数)(xf求导，得222)2()72)(12()2(7164)(xxxxxxxf令0)(xf解得.2721xx或可以求得，当)21,0(x时，)(xf是减函数；当)1,21(x时，)(xf是增函数.当]1,0[x时，)(xf的值域为4,3.（2）对函数)(xg求导，得).(3)(22axxg因为1a，当)1,0(x时，.0)1(3)(2axg因此当)1,0(x时，)(xg为减函数，从而当]1,0[x时有)].0(),1([)(ggxg又,2)0(,321)1(2agaag即]1,0[x时有()gx的值域为是2[123,2].aaa如何理解“任给]1,0[1x，]3,4[)(1xf，存在]1,0[0x使得)()(10xfxg”，实际上，这等价于)(xf值域是()gx值域的子集，即2[123,2][4,3].aaa这就变成一个恒成立问题，)(xf的最小值不小于()gx的最小值，)(xf的最大值不大于()gx的最大值即.32,43212aaa解①式得351aa或；解②式得.23a又1a，故a的取值范围为.231a4、已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm。（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.4的答案.分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I)36nm（II）当0m时，()fx在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（III）为()3fxm对1,1x恒成立，即3m(x－1)［x－(1+2m)］3m∵m0，∴(x－1)［x－(1+2m)］1(*)1°x=1时，(*)化为01恒成立，∴m02°x≠1时，∵x［－1,1］，∴－2≤x－10运用函数思想将(*)式化为2m(x－1)－11x，令t=x－1，则t［－2,0］，记1()gttt，则()gt在区间［－2,0］是单调增函数；∴min13()(2)222gtg由(*)式恒成立，必有23423mm，又m0，则403m综合1°、2°得403m分析二：（III）中的()3fxm，即22(1)20mxmx对1,1x恒成立，①②∵0m∴222(1)0xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm①运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设212()2(1)gxxxmm，再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知①式恒成立，∴22(1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4(,0)3。5、设函数aaexxfx)1ln()(，Ra．（Ⅰ）当1a时，证明)(xf在),0(是增函数；（Ⅱ）若),0[x，0)(xf，求a的取值范围．5的答案解：（1）)1()1(11)('xexaeeaxxfxxx，当1a时,)1()1()('xexexfxx,---------2分令xexgx1)(，则1)('xexg，当),0(x时，01)('xexg，所以)(xg在),0(为增函数，因此),0(x时，0)0()(gxg，所以当),0(x时，0)('xf，则)(xf在),0(是增函数.---------6分(2)由)1()1()('xexaexfxx,由(1)知,,1xex当且仅当0x等号成立.故)1()1)(1()1()1(1)('xexaxexaxxfxx,从而当01a,即1a时,对),0[x,0)('xf,于是对),0[x0)0()(fxf.由),0(1xxex得)0(1xxex,从而当1a时,)1())(()1(2)1()(22222'xeaaaeaaaexeaaeexeaaeaexfxxxxxxxxx故当))ln(,0(2aaax时,0)('xf,于是当))ln(,0(2aaax时,0)0()(fxf,综上,a的取值范围是]1,(.---------12分6、设函数2()lnfxaxbx.（1）若函数)(xf在x=1处与直线21y相切.①求实数a，b的值；②求函数],1[)(eexf在上的最大值.（2）当b=0时，若不等式xmxf)(对所有的2,1],23,0[exa都成立，求实数m的取值范围.6、无答案7、已知函数2()43,()52.fxxxagxmxm⑴当,2x时，若函数(sin)yfx存在零点，求实数a的取值范围并讨论零点个数；⑵当0a时，若对任意的11,4x，总存在21,4x，使12()()fxgx成立，求实数m的取值范围.7的答案:⑴令sin1,1tx，22()43(2)1,ftttata函数()fx图象的对称轴为直线2x，要使()ft在1,1上有零点，则(1)0,(1)0,ff即80,0,aa80.a所以所求实数a的取值范围是8,0.……3分当30a时，2个零点；当0a或83a，1个零点……………7分⑵当0a时，22()43(2)1.fxxxx所以当1,4x时，()1,3fx，记1,3A.由题意，知0m，当0m时，()52gxmxm在1,4上是增函数，()5,52gxmm，记5,52Bmm.由题意，知AB15,352,0,mmm解得6m……9分当0m时，()52gxmxm在1,4上是减函数，()52,5gxmm，记52,5,Cmm.由题意，知AC152,35,0,mmm解得3m……11分综上所述，实数m的取值范围是,36,.……..12分8、函数f（x）=alnx+1（a0）．（Ⅰ）当x0时，求证：f（x）－1≥a(1－x1）；（II）在区间（1，e）上f（x）x恒成立，求实数a的范围；（Ⅲ）当a=21时，求证：f（2）+f（3）+…+f（n+1）2（n+1－1n）（n∈N*）．8的答案9、已知函数2()lnfxaxx.（1）当2a时，求函数()yfx在1[,2]2上的最大值；（2）令()()gxfxax，若()ygx在区间(0,