待定系数法在解题中的应用

本科生毕业论文（设计）题目:待定系数法在解题中的应用姓名:吴健学院:理学院专业:信息与计算科学班级:2006级1班学号:2006844126指导教师:姜玉明职称:讲师2010年5月18日安徽科技学院教务处制安徽科技学院学士学位论文I摘要待定系数法是一种被广泛运用的解题方法，不仅在数学领域，在其他领域也有广泛的运用.更多的时候它被运用于无形当中.本文通过对初等数学中解方程、解线性规划、分解因式、解数列问题和运用Matlab中运用待定系数法的研究，可以让大家更加清楚待定系数法不仅仅在一个领域中有应用，从而让大家在解数学问题的时候能更容易的想起用待定系数法来解决数学问题.达到推广待定系数法的目的.关键词：待定系数法；方程；线性规划；分解因式；数列待定系数法在解题中的应用IIAbstractUndeterminedcoefficientmethodisawidelyusedmethodofsolvingproblems,notonlyinmathematics,inotherareaswerealsowidelyused.Moreoftenitisappliedmaynotintangibles.Basedontheequationsforelementarymathematics,linearprogramming,decompositionduetostyle,theutmostinthefollowingquestionsanduseMatlabusingtheundeterminedcoefficientmethodintthestudy,wecanmoreclearlyundeterminedcoefficientmethodnotonlyhasapplicationinafield,sothatpeopleinsolvingmathematicalproblemscanbemoreeasliytoundeterminedcoefficienttosolvemathematicalproblems.Thenwecanachievethepurposeofpromotiontheundeterminedcoefficientmethod.Keywords：undeterminedcoefficientmethod;equations;linearprogramming;factored;series安徽科技学院学士学位论文III目录第一章绪论.............................................................................................................................................11.1研究的目的和意义.........................................................................................................................11.2国内外研究状况和应用背景..........................................................................................................11.3待定系数法的原理..........................................................................................................................11.4文章结构安排.................................................................................................................................1第二章待定系数法在初等数学问题上的应用......................................................................................22.1待定系数法在分解因式中的应用..................................................................................................22.2待定系数法在求解方程中的应用..................................................................................................22.3待定系数法在求解圆的方程中的应用..........................................................................................32.4待定系数法在数列问题中的应用..................................................................................................42.5待定系数法在线性规划中的应用..................................................................................................5第三章待定系数法在Matlab中的应用................................................................................................6第四章总结...........................................................................................................................................10参考文献.................................................................................................................................................11致谢.......................................................................................................................................................12安徽科技学院学士学位论文1第一章绪论1.1研究的目的和意义数学中很多问题直接解会很麻烦.对很多数学问题来说，一般假如已知要求的结果是一种确定的形式，就能引进一些未确定的系数用来表示这种结果，通过已知条件来用各种方法得到一些方程或方程组，解它们就得到了要求的结果即求出了待定系数.待定系数法广泛应用于高等代数，解数列问题等.1.2国内外研究状况和应用背景待定系数法理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学问题都是可以用它解决的，数学工作者对待定系数法的研究仍在继续着.在初中和高中，待定系数法的运用是非常普遍的.文献[1]介绍了待定系数法的经典四例，文献[2]介绍了待定系数法在求通项公式的作用，文献[3]讲了待定系数法在求线性规划时的作用，文献[4]到文献[10]都是近年来学术界研究待定系数法的成果.待定系数法不仅在数学方面有着广泛的运用，在其他的领域也有着同样的地位.1.3待定系数法的原理待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法.其实质是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为两个多项式恒等或方程组的条件来解决的方法，体现的是“恒等变形”和“形变而值不变”的解题功能.1.4文章结构安排论文分为三章，第一章是绪论，介绍了待定系数法的研究的目的、意义、国内外的应用背景和待定系数法的原理.第二章是介绍了待定系数法在数学问题中的应用，举了一些例子.第三章是介绍待定系数法在数学软件中的应用，本节介绍的是待定系数法在Matlab中的应用.待定系数法在解题中的应用2第二章待定系数法在初等数学问题上的应用待定系数法是一种重要的数学方法，在中学数学里已多次使用.因此它是一种大家都很熟悉的方法.初等数学中，有许多问题可以用待定系数法解决.2.1待定系数法在分解因式中的应用2222222213245332x+2y)(),2532453(2)(),32()(2).+4253xxyyxyxyyxyxymxynxxyyxyxymxynxyymnxmnymnmnmnmn+++++++=++++++++++=+++++++++++ì=ï+=í=例分解因式：解析：由于x（若原式可以分解因式，那么他们两个一次项一定是和的形式，因此设将等号右边展开得x比较两边对应项的系数，则有,mnxyxyïïïïïïïî解之得=3,=1.所以原式=(+2+3)(++1).点评：先把多项式分解成系数待定的几个因式的积，根据因式分解与整式乘法的互逆性，把几个因式相乘，令所得多项式与已知多项式恒等.2.2待定系数法在求解方程中的应用22()(,,,0)(1)(4)(2),();1(2)(0,2)()();2(3)()R0;()1,2.231,0,fxaxbxcabcRaxRfxfxfxxxxfxfxfxbbaaxy=++喂?=-?+危=-==-=例2设二次函数满足条件；当时，且当时，在上的最小值为求函数的解析式。解因为f(x-4)=f(2-x),则函数关于x=-1对称，所以-由（），知当时即①安徽科技学院学士学位论文320.1(1)1,2(1)1,(1)1,1.111,,.424111().424abcfffabcabcfxxx由（），得由（），得故即由①②③，得=故-+=³£=++====++点评：本题中的解题方法很一般，但它确实在这种方法中应用了待定系数法，他把a，b，c，都当成了已知的数，然后再利用题目中的条件求出了a，b，c的值，使问题得解.222212121222222121122121222212121212212210,7,))2,7()27,,21,450.xxmxmxxxxxxxxxxxxxxmxxxxxxxxmxxmmm-+-=+=--=-++=+=+-=+==---=例3关于的一元二次方程的两个实数根分别是且则(的值是多少？解析：因为所求的式子(x而x，所以我们需要求出的值。而根据根与系数的关系，可以用含的值.因为所以1222221212125,1.5()4(21)0,1.)29413.mmmmmmxxxxxxm==-=D=---=--=+-=-=所以时，故所以(点评：本题主要是利用根与系数的关系及所给的已知条件构造关于待定系数m的方程，从而求出m的值.在解有关一元二次方程含有待定系数的题时，要特别注意二次项系数不为零，可用根的判别式的非负性来确定待定系数的值.2.3待定系数法在求解圆的方程中的应用222222222xOyx)()(0(0)(2),(3)1).xaybrrarrarr-+-=ìï-+-=ïíï-+-=ïî例4在平面直角坐标系中，一个圆经过（0,2）、（3，1），且与轴相切，则此圆的半径等于多少？解：设圆的方程为（为半径），则（②③待定系数法在解题中的应用422244,6210.1.31)44,31565araarrarrrìï=-ïíï-=-ïî=