微分方程数值解法课程设计报告

《微分方程数值解》课程设计课设题目：团队成员：081110209丘凯倩081110202江雨芮081110232黄东方081110310曲健081110311代永轩指导教师：王春武二〇一四年六月十六日T5-分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题2/11目录一、第十组团队成员及分工....................................................3二、研究问题...........................................................................4三、理论分析...........................................................................4四、数值方法...........................................................................6五、计算结果...........................................................................8六、总结及体会......................................................................113/11一、第十组团队成员及分工【丘凯倩】081110209组长统一规划团队课程设计分工，并及时分配任务。同时，负责给出格式、求解格式的截断误差，对小组成员的成果进行最终汇总。【江雨芮】081110202组员分析课设题目，运用MATLAB进行总体编程，负责代码改进与调试工作，并给出各个格式的程序流程图。【黄东方】081110232组员分析课设题目，给出“欧拉公式”的求解方法及编程思路，代表小组进行汇报展示。【曲健】081110310组员按组长分配的任务，给出“改进欧拉公式”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。【代永轩】081110311组员配合团队其他成员，给出“四级四阶R-K法”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。4/11二、研究问题分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题：21141(0),2dyydxy01001,.xh。三、理论分析1.欧拉公式),(y1nnnnyxhfy为简化分析，人们常在)(ynnxy的前提下估计误差*11)(nnyxy。这种误差称为局部截断误差。对于欧拉格式，))(,()(*1nnnnxyxhfxyy而按泰勒公式展开有)(2)()()(21yhxyhxyxynnn因此有)(2)(2*11yhyxynn所以欧拉公式的截断误差为)(2hO。2.改进的欧拉公式1111(,)0,1,2,[(,)(,)]2nnnnnnnnnnyyhfxynhyyfxyfxy截断误差：5/11)))(,()(,())(,(2)(11nnnnnnnnxyxhfxyxfxyxfhxyy)(6)(2)()()(321yhxyhxyhxyxynnnn)()(3111hOyxyRnnn3.四级四阶龙格-库塔公式112341213243(22)6(,)110,1,2,(,)2211(,)22(,)nnnnnnnnnnhyykkkkkfxynkfxhyhkkfxhyhkkfxhyhk截断误差：)22(6)(*4*3*2*11kkkkhxyynn))(,()21)(,21()21)(,21())(,(*3*4*2*3*1*21hkxyhxfkhkxyhxfkhkxyhxfkxyxfknnnnnnnn将*4*3*2,,kkk展开二元泰勒级数到4h项。再由)()!1()(!)(24)(6)(2)()()()1()1()()4(4321rrnrrnnnnnnyrhxyrhxyhxyhxyhxyhxyxy比较同幂次级数可得)()(R5111hOyxynnn6/11结束开始N=n+1x0=x1,y0=y1n=1输出x1,y1输入x0,y0,h,Nn=N?否是四、数值方法1.欧拉格式流程图),(y1nnnnyxhfy7/11结束开始N=n+1x0=x1,y0=y1n=1输出x1,y1输入x0,y0,h,Nn=N?2.改进的欧拉格式流程图1111(,)0,1,2,[(,)(,)]2nnnnnnnnnnyyhfxynhyyfxyfxy否是8/11结束开始n=1输出x1,y1输入x0,y0,h,Nn=N?N=n+1x0=x1,y0=y1否是3.四级四阶的龙格库塔公式流程图112341213243(22)6(,)110,1,2,(,)2211(,)22(,)nnnnnnnnnnhyykkkkkfxynkfxhyhkkfxhyhkkfxhyhk五、计算结果精确解（下面实线）欧拉格式的解（上面实线）9/11改进的欧拉格式的解（红线）四级四阶的龙格库塔的解（黑点）（y1图）（y2图）00.10.20.30.40.50.60.70.80.9105101520253035404500.10.20.30.40.50.60.70.80.9101020304050607010/115-1：欧拉格式误差表格无穷范数误差精度1-范数误差精度2-范数误差精度506.72760.968783.45130.978317.37320.97351003.57800.983086.51960.988012.77540.98562001.84690.991188.16280.99379.21930.99254000.938689.01376.58705-2：改进的欧拉格式误差表格无穷范数误差精度1-范数误差精度2-范数误差精度502.81221.048340.21431.04347.78551.04571001.40751.025239.71931.02245.42881.02372000.70361.012939.45201.01143.80941.01214000.351739.31332.68295-3：四级四阶龙格库塔格式误差表格无穷范数误差精度1-范数误差精度2-范数误差精度502.71771.025039.17131.02547.55571.02521001.38221.012439.17111.01265.34351.01252000.69701.006239.17111.00633.77851.00634000.350039.17112.671911/11六、总结及体会由以上可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，改进欧拉方法其次，欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法也是最大，改进欧拉方法其次，欧拉方法计算量最小。这样的结果，说明了运用以上三种方法时，其计算量的多少与精度的大小成正比。我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这3种方法中的其中一种最适合的。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。我们平时总感觉学的很好，但当我们真正做事时才发现它的困难，这份报告不仅仅是我们团队精诚合作，互帮互助的结晶，更是我们勇于探索，坚持不懈的付出。经过两天小组间的讨论与摸索，我们对于这三种方法有了系统而全面的认识和理解。在完成设计中，我们分工明确，迅速执行。同时，我们还不忘小组成员间相互帮助，一同探索。如果小组成员遇到困难，我们小组就会商量着一起解决。所以说这不仅仅是一份报告，更是我们的汗水与付出。我们的课设可能不是最好的，但是我们坚信我们一定是最努力的。