微机试卷B

学院任课教师选课班次选课号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第1页共4页电子科技大学二零零七至二零零八学年第二学期（B卷）数值分析课程试题（开卷）（90分钟）考试日期2008年月日一二三四五六七八九十总分评卷教师一、填空题（30分，每题3分）1.设某数x*,它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是|x-x*|≤0.5×10m-n,其中x为x*的近似值x=±10m×0.x1x2…xn,此题中m-n≤0确保x为三位有效数字。2．用选主元的方法解线性方程组AX=b，是为了减少计算机的浮点运算规则等造成的误差。3.已知函数y=f(x)，过点（4，6），（8，10），那么f(x)的线性插值多项式的基函数为-（x-8）/4，(x-4)/4。4．用最小二乘法求拟合直线方程y=a0+a1x的系数a0，a1，是为了使残差向量的计算量最小。5.梯形求积公式的计算误差为|I(f)–TN(f)|≤（1/12）M2h2(b-a)，其中f为求积函数，（a，b）为积分限，N个区间h=(b-a)/N，M2=maxx∈（a，b）|f”(x)|。6.取步长h=0.1，用欧拉法求解初值问题y’=(y/x2)+y,y(1)=1的计算公式是yn+1=yn+0.1f(xn,yn)，f(xn,yn)=(yn/xn2)+yn，xn=x0+nh,x0=1,y(x0)=1。7．用矩阵的LU分解解线性方程组，则方程组AX=b等价于AX=LUX=b。8．设A=[23;25]，则cond(A)∞=14。9.Lagrange插值中的Runge现象是指插值多项式的插值节点数增多时，相邻插值节点间，插值函数未必能很好地近似被插值函数，有时它们之间会有非常大的差异。10.采用N个积分节点的Gauss积分方法，其最高代数精度为N-1。学院任课教师选课班次选课号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第2页共4页二、判断题（10分,每题2分）1.数值计算中，误差会扩散的算法是不稳定的算法。（T）2.Gauss消元法的主元选择方式不会影响计算结果。（T）3.样条查值法能保证分段插值多项式的二阶导数连续。（T）4.在数值计算中，应尽量避免绝对值小的数作分母。（T）。5.常微分方程初值问题求解的Euler方法一定是稳定的。（F）三、叙述题（8分）分析矩阵的条件数与方程组解的误差之间的关系答案：设矩阵A为可逆矩阵，||.||是与某种向量范数相容的矩阵范数，称cond(A)=||A-1||||A||为该矩阵相应于该矩阵范数的条件数。1)在方程A(u+δu)=b+δb中，因为Au=b，则δu=A-1δb。由此知||δu||≤||A-1||||δb||且||b||≤||A||||u||故||δu||/||u||≤||A-1||||δb||/||u||≤||A-1||||δb||/(||b||/||A||)=cond(A)(||δb||/||b||)2)矩阵A有扰动△A时，由方程(A+△A)(u+δu)=b可得Δu=-A-1△A(u+δu)则||Δu||=||A-1||||△A||||(u+δu)||即是||Δu||/||(u+δu)||=||A-1||||A||||△A||/||A||进一步分析可得||Δu||/||u||=(||A-1||||A||||△A||/||A||)(1+O(||△A||))=(cond(A)||△A||/||A||)(1+O(||△A||))由以上分析可知，条件数大时，方程组解的相对误差大，此时A为病态矩阵；反之，方程组解的相对误差小，A为良态矩阵。学院任课教师选课班次选课号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第3页共4页四、计算与证明题（20分，每题10分）1.用复化Simpson公式计算定积分∫01[x/(x2+4)]dx(取n=4，保留4位有效数字)答案：由题意知，定积分中的a=0，b=1，n=4，h=(b-a)/n=1/4，x0=0，x1=0.25，x2=0.5，x3=0.75，x4=1，f(x)=x/(x2+4)∫01[x/(x2+4)]dx=(h/3){f(x0)+f(x4)+4[f(x1)+f(x3)]+2f(x2)}=(1/12)[0+1/5+4(4/65+12/73)+2*2/17]=(1/12)[0.2+4*(0.051538+0.16438)+0.23529]=0.10822.证明线性方程组9x1–3x2+2x3=204x1+11x2–x3=334x1–3x2+12x3=36的Jacobi和Gauss_Seidel迭代收敛。证明：Ax=b方程组中A=[932;411-1;4-312]因为A中的a11=9,a12=3,a13=2;a21=4,a22=11,a23=-1;a31=4,a32=-3,a33=12;因此，|a11|∑j=1,j≠13|a1j|，|a22|∑j=1,j≠23|a2j|，|a33|∑j=1,j≠33|a3j|这说明A是严格对角占优的矩阵。根据教材上定理3.3（p53）可知，线性方程组的Jacobi和Gauss_Seidel迭代都是收敛的。学院任课教师选课班次选课号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第4页共4页五.算法设计题给出Lagrange插值法的计算流程，并用MATLAB编程实现该算法。答案：Lagrange插值法的计算流程如下：1）读入插值节点xi,yi(i=0,1,…,n)和点x2）y=03）对i=0,1,…,n,进行如下过程t=1对k=0,1,…,i-1,i+1,…,n，计算t=t*(x-xk)/(xi-xk)y=y+t*yi4）输出点x相应的函数近似值用MATLAB编程实现该算法如下：functionv=polyinterp(x,y,u)%被交互实验程序调用%POLYINTERPPolynomialinterpolation.%v=POLYINTERP(x,y,u)computesv(j)=P(u(j))wherePisthe%polynomialofdegreed=length(x)-1withP(x(i))=y(i).n=length(x);v=zeros(size(u));fork=1:nw=ones(size(u));forj=[1:k-1k+1:n]w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;endv=v+w*y(k);end