微积分初步试题

《微积分初步》试题第1页共5页座位号：廊坊广播电视大学2009-2010学年度第一学期期末考试微积分初步试题（考试时间为90分钟）2010年1月一、填空题（每小题4分，本题5小题，共20分）⒈设函数54)2(2xxxf，则()fx2x。⒉设函数1sin,0()20sin,0xmxxfxxnxxx在x=0处连续，则m=2，n=2。⒊曲线2()1fxx在12(,)点的斜率是2。4．2sinxdxsinx2+C。⒌微分方程654()0xyyy的阶数是3。二、单项选择题，四个答案中只有一个是正确的，请将正确答案的字母填在括号内（每小题4分，本题5小题，共20分）6．函数xxyln41的定义域为（a）A.0xB.4xC.0x且1xD.0x且4x7．当0x时，下列变量为无穷小的是（c）A.1xB.sinxxC.22sinxxD.1sinx8．满足方程0)(xf的点一定是函数)(xf的（c）A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点9．下列等式中正确的是（d）A.)cosd(dsinxxxB.)1d(dlnxxxC.)d(dxxaxaD.1d2d()xxx10．微分方程1yy的通解是（b）A.1ecxyB.1excyC.cxyD.cxy221三、计算题（每小题11分，本题4小题，共44分）11．计算极限20131limsin2xxxx22200022001313limlimsin2sin2(131)32limsin2(131)233132sin22124limlim(131)2xxxxxxxxxxxxxxxxxx6711……………分……………分……………分12．设sin1exxyx，求y学号姓名分校（工作站）题号一二三四总分分数得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人密封线内不要答题《微积分初步》试题第2页共5页sinsin11sin2211sin2211sin2211(e)(e)()()()e(sin)()ecos()()xxxxxxxyxxexxxxxxxx……………3分……………7分sin313ecos22xxxx……………9分……………11分13．计算不定积分lndxxx设u=lnx，v=x，则v21=x32……………分2222211lndln(lnd2211lnd2211ln24xxxxxxxxxxxxxxxC)811………分……………分14．计算定积分1xx30e(1+e)dx11xx3x3x00x44e(1+e)d(1+e)d(1+e)11(1+e)041(1+e)44x5911……………分……………分……………分四、应用题（本题16分）15．欲做一个底为正方形，容积为V的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？15．解：容器的用料最省，无顶盖的容器的表面积最小即可。设容器的底面边长为x，容器的高为h，表面积为S因2Vxh则容器的高h=2Vx，S=x2+4xh=x2+4x2Vx=x2+4Vx………6分242VSxx令0S得x=32V………12分由于此容器确有最小表面积，故唯一驻点x=32V就是最小值点。……14分此时容器的高h=323122(2)VVV………15分所以容器的底边为32V，高为3122V时用料最省。………16分学号姓名分校（工作站）.学号姓名分校（工作站）密封线内不要答题《微积分初步》试题第3页共5页座位号：廊坊广播电视大学2009-2010学年度第一学期期末考试微积分初步试题（考试时间为90分钟）2010年1月一、填空题（每小题4分，本题5小题，共20分）⒈设函数11()xfxx，则(())ffxx。⒉函数22()56xfxxx的间断点是x=2和x=3。⒊若2()e2xfx，则0(1)(1)limxfxfx2e2。⒋若22f(x)dxxxec，则f(x)=2x(x+1)e2x(或填2x2e2x+2xe2x)。⒌若y=(Ax+C)ex是微分方程xyye的解，则A=1。二、单项选择题，四个答案中只有一个是正确的，请将正确答案的字母填在括号内（每小题4分，本题5小题，共20分）6．下列函数中为偶函数的是（c）A.||yxxB.22xyxeC.xxyeeD.xxyee7．下列各式结果正确的是（c）A.01limsin0xxB.0sin2lim1xxxC.02lim2sin0xxxD.sinlim1xxx8．曲线1()lnfxx在1x对应点处的切线方程是（d）A.21yxB.1yxC.1yxD.yx9.下列各式错误的是（a）A．)(d)(xfxxfB．)(d)(ddxfxxfxC．0d()ddbafxxxD．()()fxdxfx+C10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（b）A.yxxyddB.yxyxyddC.xxyxysinddD.)(ddxyxxy三、计算题（每小题11分，本题4小题，共44分）11.计算极限223569limxxxx2233356(3)(2)limlim9(3)(3)2lim3321336xxxxxxxxxxxx6811……………分……………分……………分12.设2ln(1),yxx求dy2222222222ln(1)(ln(1))1ln(1)(1)12ln(1)12ln(1)1yxxxxxxxxxxxxxxx……………3分……………6分……………8分2222ln(1))1xxdxx……………9分dy=ydx=(……………11分题号一二三四总分分数得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人密封线内不要答题《微积分初步》试题第4页共5页13.计算不定积分2lndxxx2lnd(2ln)(lnd(2ln)dln(2ln)d(2ln1(2ln2xxxxxxxxxxx2)5)7)+C………分………分11……………分14.计算定积分202πsindxxx解：设u=x，sin2vx，则1cos22vx3……………分220011sin2dcos2(cos2)d22201sin224404xxxxxxxxx-810………分……………分11……………分四、应用题（本题16分）15.在半径为R的半圆内，做一个内接梯形，其一底为半圆的直径，其它三边为半圆的弦，问如何做才使梯形面积最大？梯形的最大面积是多少？解：如图建立平面坐标系，设A（x,y）是梯形在半圆上的内接点。因为A在圆上，所以有222xyR又y0所以22yRx梯形的上底：2x梯形的下底：2R梯形的高：y梯形的面积：221(22)()(0)2SxRyxRRxxR……6分2222222222()()2()()2()(2)SRxxRRxxRxxRRxxRRxRx令0S得2RxxR(舍去)………12分由于内接梯形最大值确实存在，故定义域内唯一驻点2Rx就是最大值点。……14分此时梯形的高22yRx=32R梯形的最大面积22233()()224RRSRRR………15分所以当上底为下底一半时梯形面积最大，梯形的最大面积是2334R。…16分学号姓名分校（工作站）密封线内不要答题《微积分初步》试题第5页共5页学号姓名分校（工作站）得分评卷人