微积分在生活中的应用

微积分在生活中的应用一、前言微积分是我进入大学学习的第一本和数学有关的书籍。我喜欢这种逻辑性很强的东西，所以从小对数学就有一种痴迷，当我学到了把微积分的知识应用到实际生活中的时候那种精确与巧妙魅让我深深的折服。特别是它在经济生活中的应用真正做到了把知识化为财富的目的。二、摘要牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。变这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。关键词：物理，经济，应用。三、在生活中的运用一，在物理中的应用1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时；对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积；2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时；根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。3.研究变力做功问题时；对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。二，在经济上的应用1.11.1.1设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)1.1.2边际成总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C=C(Q)．C(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C(Q0)1.1.3总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R(Q0)1.1.4利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。三，1.2.1设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limx→0yyxx=limx→0yx．xy=f’(x)xf(x)在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%1.2.2需求弹性经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)四，积分在几何学中的应用在平面问题上的应用2.2.1.1平面图形的面积的计算求三叶玫瑰线3cosar围成的区域的面积图2.13cosar解：三叶玫瑰线围成的三个叶全等,只需计算第一象限那部分的面积面积的6倍.三叶玫瑰线acosr,在第一象限中,角的变化范围是由0到6,于是,三叶玫瑰线围成的区域的面积是)3()3(cos)3(cos2660222602dadaAdada2022022)2cos1(2cos4)22sin(22202|aa2.2.1.2平面曲线的弧长的计算求星形线20,0,sin,cos33aayaa的全长解：图（1）星形线Oxy星形线关于两个坐标轴都对称,于是,星形线的全长是它在第一象限的那部分弧长的4倍.cossin3sincos32'2'ayax则星形线的全长dyxadyxs202'2'202'2'124dada2020cossin12|cossin|12ada6)2(2sin3202.2.2在三维空间中的应用2.2.2.1旋转曲面的面积的计算求椭圆)0(12222abybxa绕y轴旋转所成旋转椭球体的表面积.图2椭圆12222ybxaoxy解：22'22,ybbayxybbaxy于是，旋转椭球体的表面积P=2dyxxxdyxxbybby02'2-2')(41=dyybabbab022242)(4dyyabbab0222424)(40222422ydyabbab|0222424222422|)|ln(2byabyabyabyba)ln||ln(222422242422242ababbabbabbabbba)]1(ln[2222babaXYo其中,aba22是椭圆的离心率.2.2.2.2旋转体的体积的计算切黄瓜圈时,将洗净的黄瓜放到水平放置的菜板上,菜刀则垂直于菜板的方向切去黄瓜两端,也就是所求体积的立体空间,接下来试想如何将计算出这个不规则黄瓜的体积？我们可以,也就是将间隔较小距离且垂直于菜板方向切下一个黄瓜薄片,将其视为一个支柱体,这个体积也就是等于截面的面积乘以厚度.举一反三,如果将这根黄瓜切成若干薄片,计算每个薄片的面积并相加就可得到黄瓜的近似体积，且黄瓜片约薄,体积值就约精确.那么如何才能提高这个数值的精确度呢?也就是将其无限细分,再获得无限和,也就是黄瓜的体积.