微积分方法建模3存贮模型--数学建模案例分析

微积分方法建模数学建模案例分析§3存贮模型工厂要定期地订购各种原料，商店要成批地购进各种商品，小库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运……不论是原料、商品还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用高，存得少了则无法满足需求。水库蓄水过量可能危及安全，蓄水太少又不够用。我们的目的是制订最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货。才能使总费用最小。模型一不允许缺货的存贮模型模型假设：1、每次订货费为1C，每天每吨货物贮存费2C为已知；2、每天的货物需求量r吨为已知；3、订货周期为T天，每次订货Q吨，当贮存量降到零时订货立即到达。模型建立：订货周期T，订货量Q与每天需求量r之间满足rTQ订货后贮存量)(tq由Q均匀地下降，即rtQtq)(。)(tqQArtT2T一个订货周期总费用TrTCQTCdttqCC0222212121)(贮存费订货费即22121rTCCTC）（一个订货周期平均每天的费用)(TC应为rTCTCTTCTC2121)()(问题归结为求T使)(TC最小。模型求解：令0dTCd，不难求得0微积分方法建模数学建模案例分析212rCCT从而212CrCQ（经济订货批量公式，简称EOQ公式）模型分析：若记每吨货物的价格为k，则一周期的总费用C中应添加kQ，由于rTQ，故C中添加一常数项kr，求解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。从结果看，1C越高，需求量r越大，Q应越大；2C越高，Q越小，这些关系当然符合常识的，不过公式在定量上的平方根关系却是凭常识无法得到的。模型二允许缺货的存贮模型模型假设：1，2同上3、订货周期为T天，订货量Q吨，允许缺货，每天每吨货物缺货费3C为已知。模型建立：缺货时贮存量q视作负值，)(tq的图形如下，货物在1Tt时售完。于是1rTQ。qQrArT2T一个订货周期内总费用TTTQrTrCTTrCdttqCrQCQTCdttqCC112321330221221)(2)(2|)(|212)(缺货费贮存费订货费即23221)(21121),(QrTCrrQCCQTC一个订货周期平均每天的费用),(QTC应为rTQrTCrTQCTCTQTCQTC2)(2),(),(23221模型求解：0B1TtA微积分方法建模数学建模案例分析00QCTC可以求出QT,的最优值，分别记作T和Q，有32321332212,2CCCCrCQCCCrCCT模型分析：若记332CCC，则与模型一相比有TT，QQ显见QQTT,，即允许缺货时应增大订贷周期，减少订贷批量；当缺货费3C相对于贮存费2C而言越大时，越小，T和Q越接近T和Q。问题1、在模型一和模型二中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在模型二中最优订货周期和订货批量都比原来的结果减少。2、建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，rk.在每个生产周期T内，开始的一段时间)0(0Tt一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产。贮存量)(tq的变化如图，设每次生产开工费用为1C，单位时间每件产品贮存费为2C，以总费用最小为准则确定最优周期T。q0t0TT