微观粒子运动模型建立试题

微观粒子运动模型建立试题24．(20分)导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路．已知导线MN电阻为R，其长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B.忽略摩擦阻力和导线框的电阻．(1)通过公式推导验证：在Δt时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W电，也等于导线MN中产生的热量Q;(2)若导线MN的质量m＝8.0g、长度L＝0.10m，感应电流I＝1.0A，假设一个原子贡献一个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率ve(下表中列出一些你可能会用到的数据)；阿伏伽德罗常数NA6.0×1023mol－1元电荷e1.6×10－19C导线MN的摩尔质量μ6.0×10－2kg/mol(3)经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子(即金属原子失去电子后的剩余部分)的碰撞．展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式．11、【2014海淀查漏补缺】一段横截面积为S的直金属导线，单位体积内有n个自由电子，电子的质量为m，电子的电荷量为e。该导线通有电流时，电子定向运动的平均速度用v表示。（1）求导线中的电流I。（2）按照经典理论，电子在金属中运动的情形是这样的：在外加电场(可通过加电压实现)的作用下，自由电子发生定向运动，便产生了电流。电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰撞，将动能交给金属离子(微观上使其热运动更加剧烈，宏观上产生了焦耳热)，而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（为简化问题，我们假定：电子沿电流方向做匀加速直线运动），经加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞。电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用L表示。请从宏观和微观相联系的角度，结合能量转化的相关规律，求金属导体的电阻率。按照经典电子理论，电子在金属中运动的情形是这样的：在外加电场的作用下，自由电子发生定向移动，便产生了电流，电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰撞，将动能交给金属离子，而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（看成匀加速运动），经加速一段距离后，再与金属离子发生碰撞，电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用L表示，电子运动的平均速度用表示，导体单位体积内的自由电子数量为n，电子的质量为m，电子的电荷量为e，电流的表达式I=nqsv．请证明金属导体的电阻率ρ=．设长度为自由程的导体两端的电压为U，则根据欧姆定律得到，电阻R=U/I①根据电阻定律得，R=ρL/S②导体中电流的微观表达式I=nqsv③在自由程内，电子在电场力作用作用下，速度从0加速到V，由动能定理得eU=1/2mV2④又平均速度v=0+V/2⑤联立上述五式得到，金属导体的电阻率ρ=2mv/ne2L．得证．24.（20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。（1）一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e。该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v。（a）求导线中的电流I；（b）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安=F。（2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。（注意：解题过程中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）23.解：（1）（a）设t时间内通过导体横截面的电量为q，由电流定义式得neSvttneSvtqI（1）每个自由电子所受的洛伦兹力evBF洛设导体中共有N个自由电子，nSlN导体内自由电子所受洛伦兹力的总和nSlevBF洛NF安培力neSvBlBlFI安，所以F=F安（2）一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量mvI2面积为S、高为tv的柱体内的粒子总数为tnSvN（如图所示），由于与向各个方向碰撞的几率相等，所以与面积S的器壁碰撞的粒子数占总数的61，即tnSvN61t时间内粒子给面积为S的器壁的总冲量为tnSmvINI231面积为S的器壁上所受的压力231nSmvtIF单位面积的器壁所受的压力231nmvSFf一种看不见的未知粒子跟静止的氢原子核正碰，测出碰撞后氢原子的速度是3.3×107m/s，该未知粒子跟静止氮原子核正碰时，测出碰撞后氮原子核的速度是4.4×106m/s.Stv已知氢原子核的质量是mH，氮原子核的质量是14mH，上述碰撞都是弹性碰撞，求未知粒子的质量.这实际上是历史上查德威克测量中子质量从而发现中子实验，请你根据以上查德威克的实验数据计算，中子的质量与氢核的质量mH有什么关系？解析：未知粒子与氢核和氮核均发生弹性碰撞，所以可据动量守恒和机械能守恒分别列方程求出碰后被碰核的速度，即可由已知条件找出未知粒子的质量.设未知粒子质量为m，初速度为v0，与氢核碰后二者速度分别为v1和v1′，与氮核碰后二者速度分别为v2和v2′，据动量守恒定律得：碰氢核：mv0=mv1+mHv1′碰氮核：mv0=mv2+14mHv2′，根据碰撞过程中机械能守恒，对氢核：mv02=mv12+mHv1′2对氮核：mv02=mv22+×14mHv2′2解以上四式得：v1′=v0,v2′=v0所以=，代入数据解得m=mH，即未知粒子的质量等于氢核的质量.1909—1911年英国物理学家卢瑟福与其合作者做了用α粒子轰击金箔的实验.发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进；少数α粒子却发生了较大角度的偏转；极少数α粒子偏转角度超过了90°；有的甚至被弹回，偏转角几乎达到了180°.这就是α粒子散射实验.为了解释这个结果，卢瑟福在1911年提出了原子的核式结构学说：在原子的中心有一个很小的核，叫做原子核，原子的全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外空间里绕着核旋转.（1）请你利用α粒子散射实验结果估算原子核的大小(保留一位有效数字).（2）若该α粒子距离这个金核r1时，其速度为v1，加速度为a1，则在距离这个金核r2时，其速度v2和加速度a2各为多少？(下列公式或数据为已知：点电荷的电势U=kQ/r,k=9.0×109Nm2/C2，金原子序数79，α粒子质量mα=6.64×10-27kg，α粒子速度v=1.6×107m/s，电子电量e=1.6×10-19C.解析：（1）由于是估算，我们可以取极少数被弹回的α粒子为研究对象.当α粒子的速度减为0时，α粒子与金原子核间的距离最小约等于金原子核的半径.利用能量转化与守恒定律进行计算.对于极少数被弹回的α粒子，受到很强的排斥力，可以认为它几乎接近原子核；它先做减速运动，当速度减为0后，反向加速.当α粒子的速度减为0时，α粒子与金原子核间的距离最小，约等于金原子核的半径；此过程中α粒子的动能转化为电势能.mαv2=,解得：r=代入数据解得：r=4×10-14m.（2）有牛顿第二定律和库仑定律得kQq/r2=ma故有a2/a1=r12/r22解得a2=(r1/r2）2a1忽略金原子内电子产生电场的影响，有能量守恒定律，有：kQ金qα/r1+1/2mαv12=kQ金qα/r2+1/2mαv22V2=2121)11(96.10vrr一、估算类例1：据报道，1980年一架英国战斗机在威尔士上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁。小小的飞鸟撞坏庞大、坚实的飞机，真难以想象。试通过估算，说明鸟类对飞机飞行的威胁，设飞鸟的质量m=1kg，飞机的飞行速度为V=800m/s，若两者相撞，试估算鸟对飞机的撞击力。分析与解：首先合理建立模型，鸟与飞机相撞时，鸟的动量发生变化，由动量定理可知，鸟与飞机间必有冲力作用。因鸟飞行的速度远小于飞机的速度，可认为鸟的初速为零，因鸟的质量相对飞机的质量要小得多，所以两者相撞后飞机的速度基本不变，鸟与飞机一起以飞机的初速运动。而鸟与飞机接触的时间可理解为：鸟与飞机相撞时其长度改变所需的时间，对于鸟的长度可近似取为L=0.2m，t=L/V。设鸟对飞机的撞击力为F，以鸟为研究对象，由动量定理有：Ft=mV，所以：。由上可见，鸟对飞机飞行具有很大的威胁，故在大型飞机场通常要设有驱赶飞鸟的设置。二、变质量类例2：一场雨的降雨量为2小时内7.2cm积水高。设雨滴落地时的速度相当于它从61.25m高处自由下落时获得的速度，取g=10m/s2，求雨落地时对每平方米地面产生的平均压力为多大？分析与解：因题中的已知条件为总降雨量的多少，而需要求解的是雨在落地时对地的平均冲力。故可以把所降总雨量分成若干个小部分，设每一小部分雨滴的质量为△m，每部分对应的时间为△t，对各小段应用动量定理求得雨滴在该段所受的合外力。当雨滴的落地速度相当于由61.25m高处自由下落时的获得的速度时（），因雨滴的线度很小，故雨滴与地面相撞的时间极短，此时雨滴的重力相对于冲力而言，可以忽略不计。雨滴对地面的冲力即可认为为雨滴所受的合外力。设雨滴对每地面的平均冲力为F，由动量定理：△mV=F△t，对所有部分求和得：，即：MV=Ft，M为地面所降雨的总质量：M=ρSh，所以雨落地时对每平方米地面产生的平均压力为：例3：如图所示，由高压水枪竖直向上喷出的水柱，将一质量为M的小铁盒开口向下倒顶在空中。已知水以恒定速度V0从横截面积为S的水枪中持续不变喷出，向上运动并冲击铁盒后，以不变的速率竖直返回，求稳定状态下铁盒距水枪口的高度h。分析：铁盒能处于平衡，是因为铁盒受水对铁盒的冲力作用。可取时间t内到达铁盒的水为研究对象，设其质量为m，由动量定理求得水柱对铁盒的冲力。再由水在向上运动时是以重力加速度g作匀减速运动，求出铁盒距水枪的高度。解：设在时间t内到达铁盒的水的质量为m，速度为V，以这部分水为研究对象，设水柱对铁盒的冲力为F，因水柱与铁盒的作用时间极短，所以此过程中可忽略水柱的重力。由动量定理有：Ft=m×2V，在时间t内从水枪中喷出的水的质量为：m′=ρSV0t，因水枪连续喷水，所以时间t内到达铁盒水的质量为：m=m′=ρSV0t，由于水枪喷出的水柱在竖直方向以重力加速度作匀减速运动，故：当铁盒倒顶在空中时，由平衡条件有：F=Mg，综合以上各式得：三、综合型例4：火箭发动机产生的推力F等于火箭在单位时间内喷出的推进剂质量M与推进剂速度V的乘积，即F=MV。质子火箭发动机喷出的推进剂是质子，这种发动机用于在外层空间中产生的微小推力来纠正卫星的轨道或姿态。设一台质子发动机喷出的质子流的电流I=1.0A，用于加速质子的电压U=5.0×104V，质子质量m=1.6×10－27kg，求该发动机的推力（取2位有效数字）。分析与解：因题中已给出发动机的推力：F=MV。故只需求出质子流的速度及质子流的总质量即可求出相应的推力。质子是通过电场的加速而获得一定的速度，其速度的大小可由动能定理求得。再由电流的定义可求出质子的电量，并得出质子的个数及总质量M。设质子流的速度为V，因质子是通过加速电场加速，由，有：。设单位时间内喷出质子的总质量为M，则M=nm，由电流的定义：，Q=ne，又因为：F=MV，综合以上各式得：例5：根据量子理论，光子的能量E与动量p之间的关系式为E=pc，其中c表示光速，由于光子有动量，照到物体表面的光子被物体吸收或反射时都会对物体产生压强，这就是光压，用I表示。（1）一台二氧化碳气体激光器发生的激光，功率为P0，射出的光束的横截面积为S，当它垂直照射