心理统计学第三章

第三章第三章集中量数第一节算术平均数.................................................................................2第二节中位数.................................................................................................5第三节众数.......................................................................................................8第四节几何平均数和倒数平均数.............................................................11第五节SPSS实验——均数、中数和众数....................................................15同步练习与思考题.............................................................................................17问题已知某生数学期中和期末的成绩，又知期中期末的比重为4：6，则该生的学期成绩是多少？已知某年级各班的平均成绩及人数，其年级分数是多少？已知某地区或某校历年的招生人数，如何求其平均发展速度并预测未来的发展规模？如何计算心理与教育实验中被试的阅读速度、解题速度、识字速度、打字速度、记忆速度等？学习目标1．识记和理解各种集中量指标的概念2．熟练掌握各种平均指标的计算方法3．掌握均数、中数和众数应用范围4．了解几何平均数和倒数平均数的应用在实验、测量或调查中获得的大量观测数据，具有一种向数据中央某一点靠拢的趋势，这种趋势在统计学中称为集中趋势（centraltendency），它是数据分布的特征之一。用于描述观测数据集中趋势的量数称为集中量数。集中量数（centralmeasures）是一组数据的代表值，用以说明一组数据分布的典型情况或一般水平，它比个别数据更能反映客观现象或事物的实际情况。集中量数还可以用于组与组之间的差异比较。譬如，某教师在两个平行班进行了传统教学法和多媒体教学的实验研究，通过一年实验后，观测到两个班级的平均成绩之间出现较大的差异。描述客观现象集中趋势的数量指标有算术平均数、加权平均数、中数、众数、几何平均数和倒数平均数。第一节算术平均数一、算术平均数的定义算术平均数（arithmeticmean）是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商。简称平均数、均数或均值。其符号系统既有表示样本平均数的数学符号X和英文符号M（Mean），又有表示总体参数的希腊字符。二、算术平均数的计算方法（一）定义式定义式即根据算术平均数的定义计算的平均数，因其采用原始数据直接进行计算又称为原量数计算法或计算式，其公式为NXXi例3-1：10名学生的心理与教育统计成绩为68，77，63，79，70，79，70，79，86，80。试问这组数的平均数为多少？1.75107511080867970797079637768X（二）加权式在定义式中，1X，2X，3X……10X的系数或次数为1，其运算的基本思想是等量齐观的，即各个参与计算平均数的观测值的重要性程度被视为同样重要的。然而，在实际中将各个观测值平等看待的做法并不完全合理。譬如，学校中各门功课大多有期中测验、平时测验、作业成绩、期末考试等。在计算和评价个体的学期成绩时并非将这几项成绩简单加和除以4，而是根据各种成绩的重要性程度的不同，规定不同的比例，以此说明它们在决定成绩多少时的重要性不一样，也就是要考虑加权的问题。在心理与教育的研究中，需要考虑加权的情形是非常多的，用比例、次数等来权衡各个观测值重要性程度而计算出的平均数称为加权平均数（weightedmean），简称加权式。1．加权式的通式加权平均数是观测数据（iX）与其相应次数（f）乘积的和除以总次数（f）所得的商，这是加权式的一般公式，即ffXXi式中次数f又称权重或权数。如例3-1用加权式计算方法如下。表3-1加权平均数计算示例X86807977706863f11312111.75107511121311163168270177379180186X2．加权式的变式加权式用于不同的情况有不同的计算方法，如求总平均数、归一化的平均数、次数分布的平均数等均有不同的算法，但其基本方法均源自加权式的通式，均属加权式的变式。1）求总平均数已知各组平均数求总平均数时，并不是简单地以各组平均数之和除以平均数的个数。因为各组平均数的大小受各组人数多少的影响，所以需考虑人数权数的影响。总平均数（totalmean）是以群组人数（n）与群组平均数（iX）乘积的和除以总人数（n），其计算公式为nXnXit例3-2：某校初三期末物理考试后，经初步统计得知一班55人的平均成绩为80.5，二班52人的平均成绩为78.2，三班56人的平均成绩为83。试问该年级的平均物理成绩是多少？63.801639.131415652555683522.78555.80tX2）归一化均数归一化加权平均数是指权数之和为1的加权平均数，其公式为iiXWX式中iW为归一化权数。例3-3．赵卓的数学成绩，平时为90，期中为84分，期末为83分，该学科平时、期中、期末分数之比为2:3:5。试问赵卓数学的学期成绩是多少？7.8410847532835843902X或7.84835.0843.0902.0X3）求次数分布的均数——组中值计算法当一群数据经整理形成次数分布后，原始数据（X）已消失，代之而起的是分组及各组的次数。各组的代表量则以组中值表示，其平均数为各分组的次数（f）与组中值（m）乘积的和除以总次数，计算公式为ffmX阅读材料：平均数的简捷式在手工计算的时代，用组中值法计算次数分布的平均数数据量大，计算较麻烦，统计学家根据数学的性质创立了简捷法。根据每一原始分数同加或减一个常数则算术平均数的变化也同样加或减这个常数及每一个原始量数同乘或同除以一个常数则算术平均数的变化也同样是乘或除的这个常数的原理，可对平均数的计算进行简化，其公式为iffdAifiAmfAX式中iAmd为简化值，A为假设平均数，i为组距。例3-4：57名学生的高等数学成绩分布如表3-2。计算过程：①选择假设平均数A（一般选次数最多，且位于中间组的组中值），本例72A②确定简化值d。简化值d有一规律，即假设平均数所在组的d值为0，大于假设平均数各组的d值依次为1，2，3，…；小于假设平均数各组的d则依次为-1，-2，-3，…；由此，简化值d可以直接按顺序书写而不需计算。③计算各组次数与简化值乘积的和（fd）④代入公式，计算平均数表3-2简化平均数计算表组别mfdfd85-898733980-8482821675-79771311370-7472150065-69679-1-960-64626-2-1255-59572-3-650-54521-4-4—57—7iffdAX61.72557772三、算术平均数的性质性质一：一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积，即XNX证明XNXNXX性质二：一组变量值的离均差之和等于零，即0XX证明XXXX又XNX0XNXNXX性质三：在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数c，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数c。性质四：一组变量值的离均差平方和最小，即2XX最小证明：设c为任意常数，且0c，则有XCX222CXXCXXXX22222222CXXCXXCXXCXXCXX22CXX＞2XX第二节中位数一群数据的集中趋势，除了可以用平均数来描述外，还可用其它数量表示。中位数就是其中的一种。一、一、中位数的意义中位数（Median）又称中点数，简称中数，用符号Mdn或Md表示。中位数是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数值，它是把一组数据按次数划分为两半，即在中位数上下的数据分布各占一半。例如有一组数据为3，5，6，7，10，位于中央位置的数是6，而在它两侧各有两个数据分布。二、二、中位数的计算中位数的计算因数据形式不同而有不同方法，大致可分为原量数（即原始数据）计算法和次数分布计算法。（一）原量数的计算法在一组原始数据中，要确定中数又需分两种情况进行。一是考虑数据个数是（N）是奇数还是偶数，二是考察靠近中数附近有无重复的数据（不在中数附近的重复数不作考虑）。1．1．中数附近无重复数时当中数附近无重复数时，视该组数据的奇偶性分别进行。若数据个数（N）为奇数时，先将数据从小到大排列顺序；再求中数的位置数，即21N；最后再由位置数确定中数。例如有7个按大小顺序排列的数据2，5，7，9，11，12，15，其位置数为421721N，即该数列中处于第四个位置的数就是中数，该中数为9。若数据个数（N）为偶数时，同样需将数据从小到大排列顺序，再求中数，即12221NNXXMdn式中的2NX和12NX为位置数，根据位置数确定两个中间值，再求其平均数，该平均数即为中数。例如有10个数据18，22，11，15，19，23，12，17，16，26。先按大小顺序排列数据11，12，15，16，17，18，19，22，23，26，则其中数为12221NNXXMdn5.171817212121651210210XXXX也就是说，数据个数为奇数时，中数是位于中间位置的量数；数据个数为偶数时，中数是位于中间位置两个量数的平均数。2．2．中数附近有重复数时当中数附近有重数时，确定方法较为复杂，需考虑重复数的影响。例如有11个数据2，3，4，4，6，9，9，9，10，14，17，若按奇数法确定中数则为第六个位置的数9。但是9共有三个，那么究竟哪一个点恰好是第一个9的中点值呢。我们可以假定9为连续数据，则它的实限为8.5～9.5，即在这个数据段中均匀分布着3个9，每一个9占数据段的1/3，即0.333，各段的值图3-1所示。因为中数在第一个9上，而第一个9的数据范围为8.50至8.833，其中数的代表值则为两数的中间值8.67。第一个9第二个9第三个98.508.8339.1669.449图3-1重复数9的分布上述结果也可以通过计算获得，其公式为bbFNfLMdn21式中bL为数值9的精确下限，f为数据的重复个数，bF为可能的中数（此处为9）以下的累积次数，2N中数所在位置，所以上列为67.852113150.8Mdn若数据经整理形成了次数分布表，则求其中数的公式为bbFNfiLMdn2（用于由低分组向高分组累积次数时）aaFNfiLMdn2（用于由高分组向低分组累积次数时）式中bL为中数所在组的精确下限，aL为中数所在组的精确上限；f为中数所在组次数；bF为中数所在组以下的累积次数，aF为中数所在组以上的累积次数；2N用于确定中数所在的组，根据2N在累积次数栏寻找包含2N的累积次数，其对应组即为中数所在组。如例3-4，求其中数。表3-3中数计算表组别fulFluF85-89357380-848541175-7913462470-7415333965-699184860-6469545