必修1教案3.1.2函数零点的存在性定理

3.1.2函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2．过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾提出问题1．函数零点的概念2．函数零点与方程根的关系3．实例探究已知函数y=x2+4x–5，则其零点有几个？分别为多少？生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法生：函数y=x2+4x–5的零点有2个，分别为–5，1回顾旧知，引入新知示例探究引入课题1．探究函数y=x2+4x–5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.生：零点–5∈(–6，–4)零点1∈(0，2)且f(–6)·f(–4)＜0f(0)·f(2)＜0师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.①f(x)=2x–1，②f(x)=log2(x–1)生：函数f(x)=2x–1的零点为1(0,1)2且f(0)f(1)＜0.函数f(x)=log2(x–1)的零点为2∈(1，3)且f(1)f(3)＜0由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理发现定理零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0那么，函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根师生合作分析，并剖析定理中的关键词①连续不断②f(a)·f(b)＜0师：由于图象连续不断，若f(a)＞0，f(b)＜0，则y=f(x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点形成定理，分析关键词，了解定理.深化理解定理的理解（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数师：函数y=f(x)=x2–ax+2在(0，3)内，①有2个零点.②有1个零点，分别求a的取值范围.生：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则(0)0(3)0003222ffaba②f(x)在(0，3)内有1个零点则(0)011(3)03faf通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理.应用举例例1求函数f(x)=lnx+2x–6的零点的个数.师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例1解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象.x12345f(x)–4–1.03691.09863.38635.6094x6789f(x)7.79189.945912.079414.1972师生合作交流，体会定理的应用3yxO由表和图可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f(x)在定义域(0,)内是增函数，所以它仅有一个零点.练习巩固练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=–x3–3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x–2)–3；（3）f(x)=ex–1+4x–4；（4）f(x)=3(x+2)(x–3)(x+4)+x.学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习1解：（1）作出函数图象，因为f(1)=1＞0，f(1,5)=–2.875＜0所以f(x)=–x3–3x+5在区间(1，1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(,)上的减函数，所以f(x)=–x3–3x+5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f(3)＜0，f(4)＞0，所以f(x)=2x·ln(x–2)–3在区间(3，4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x–2)–3在(2,)上是增函数，所以f(x)在(2,)上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）作出函数图象，因为f(0)＜0，f(1)＞0，所以f(x)=ex–1+4x–4在区间(0，1)上有一个零点又因为f(x)=ex–1+4x–4在(,)上是增函数，所以f(x)在(,)上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为f(–4)＜0，f(–3)＞0，f(–2)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，所以f(x)=3(x+2)(x–3)(x+4)+x在(–4，–3)，(–3,–2)，(2，3)上各有一个零点尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力..归纳总结1．数形结合探究函数零点2．应用定理探究零点及存在区间.3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间.学生总结师生完善补充学会整理知识，培养自我归纳知识的能力课后练习3.1第二课时习案学生自主完成整合知识，提升能力备选例题例1已知集合A={x∈R|x2–4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.【解析】设全集U={a|△=(–4a)2–4(2a+6)≥0}=3{|(1)()0}2aaa=3{|1}2aaa或若方程x2–4ax+2a+6=0的两根x1，x2均非负，则1212340,.2260.aUxxaaxxa因为在全集U中集合3{|}2aa的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.例2设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2–1=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a的值.【解析】∵A={x|x2+4x=0，x∈R}，∴A={–4，0}.∵A∪B=A，∴BA.1°当B=A，即B={–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,,1.10aaa解之得2°当B=，即方程x2+2(a+1)x+a2–1=0无实解.∴△=4(a+1)2–4(a2–1)=8a+8＜0.解得，a＜–1.3°当B={0}，即方程x2+2(a+1)x+a2–1=0有两个相等的实数根且为零时，2880,,1.10.aaa解得4°当B={–4}时，即需2880,168(1)10.aaa无解.综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a=1.